1.一元二次函数的重要知识点（考点）
二次函数：y=ax^2+bx+c (a,b,c是常数，且a不等于0)
a>0开口向上
a0,ax^2+bx+c=0有两个不相等的实根
b^2-4ac0）个单位，解析式为y=a(x+b/2a+d)^2+(4ac-b^2)/4a，向右就是减
函数向上移动d(d>0)个单位，解析式为y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a+d，向下就是减
当a>0时，开口向上，抛物线在y轴的上方（顶点在x轴上），并向上无限延伸；当a
4.画抛物线y=ax2时，应先列表，再描点，最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。
二次函数解析式的几种形式
(1)一般式：y=ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0).
(2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0).
(3)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，a≠0.
说明：（1）任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是（h,k）,h=0时，抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上；当k=0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h=0且k=0时，抛物线y=ax2的顶点在原点.
(2)当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c=0有实数根x1和
x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，二次函数y=ax2+bx+c可转化为两根式y=a(x-x1)(x-x2).
求抛物线的顶点、对称轴、最值的方法
①配方法：将解析式化为y=a(x-h)2+k的形式，顶点坐标（h,k），对称轴为直线x=h，若a>0,y有最小值，当x=h时，y最小值=k，若a
②公式法：直接利用顶点坐标公式（- ， ），求其顶点；对称轴是直线x=- ，若a>0,y有最小值，当x=- 时，y最小值= ，若a
6.二次函数y=ax2+bx+c的图像的画法
因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以作图时常用简化的描点法和五点法，其步骤是：
(1)先找出顶点坐标，画出对称轴；
(2)找出抛物线上关于对称轴的四个点（如与坐标轴的交点等）；
(3)把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来.
2.有关二次函数的知识点
二次函数知识点一、二次函数概念：1.二次函数的概念：一般地，形如 （ 是常数， ）的函数，叫做二次函数. 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 ，而 可以为零.二次函数的定义域是全体实数.2. 二次函数 的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 的二次式， 的最高次数是2.⑵ 是常数， 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项.二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式： 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上 轴 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 .向下 轴 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 .2. 的性质：上加下减. 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上 轴 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 .向下 轴 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 .3. 的性质：左加右减. 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上 X=h 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 .向下 X=h 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 .4. 的性质： 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上 X=h 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 .向下 X=h 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 .三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；⑵ 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”.概括成八个字“左加右减，上加下减”. 方法二：⑴ 沿 轴平移：向上（下）平移 个单位， 变成 （或 ）⑵ 沿轴平移：向左（右）平移 个单位， 变成 （或 ）四、二次函数 与 的比较从解析式上看， 与 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即 ，其中 .五、二次函数 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数 化为顶点式 ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 轴的交点 、以及 关于对称轴对称的点 、与 轴的交点 ， （若与 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 轴的交点，与 轴的交点.六、二次函数 的性质 1. 当 时，抛物线开口向上，对称轴为 ，顶点坐标为 .当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大；当 时， 有最小值 . 2. 当 时，抛物线开口向下，对称轴为 ，顶点坐标为 .当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小；当 时， 有最大值 .七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式： （ ， ， 为常数， ）；2. 顶点式： （ ， ， 为常数， ）；3. 两根式： （ ， ， 是抛物线与 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数 二次函数 中， 作为二次项系数，显然 . ⑴ 当 时，抛物线开口向上， 的值越大，开口越小，反之 的值越小，开口越大； ⑵ 当 时，抛物线开口向下， 的值越小，开口越小，反之 的值越大，开口越大.总结起来， 决定了抛物线开口的大小和方向， 的正负决定开口方向， 的大小决定开口的大小.2. 一次项系数 在二次项系数 确定的前提下， 决定了抛物线的对称轴. ⑴ 在 的前提下，当 时， ，即抛物线的对称轴在 轴左侧；当 时， ，即抛物线的对称轴就是 轴；当 时， ，即抛物线对称轴在 轴的右侧.⑵ 在 的前提下，结论刚好与上述相反，即当 时， ，即抛物线的对称轴在 轴右侧；当 时， ，即抛物线的对称轴就是 轴；当 时， ，即抛物线对称轴在 轴的左侧.总结起来，在 确定的前提下， 决定了抛物线对称轴的位置. 的符号的判定：对称轴 在 轴左边则 ，在 轴的右侧则 ，概括的说就是“左同右异”总结： 3. 常数项 ⑴ 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴上方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当 时，抛物线与 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 轴交点的纵坐标为 ； ⑶ 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴下方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为负. 总结起来， 决定了抛物线与 轴交点的位置. 总之，只要 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于 轴对称 关于 轴对称后，得到的解析式是 ； 关于 轴对称后，。
3.有关二次函数的所有知识点
函数单元测试题1.已知一个正比例函数的图象经过点（-2,4），则这个正比例函数的表达式是 。
2.若函数y= -2xm+2是正比例函数，则m的值是 。 3.一次函数y= -2x+4的图象与x轴交点坐标是 ，与y轴交点坐标是 ，图象与坐标轴所围成的三角形面积是 。
4.如图：三个正比例函数的图像分别对应的解析式是①y=ax，②y=bx，③y=cx，则a、b、c的大小关系是 > > 。 5. 某种储蓄的月利率为0.15%，现存入1000元，则本息和y（元）与所存月数x之间的函数关系式是 。
6.已知一次函数y=-x-(a-2)，当a_____时，函数的图象与y轴的交点在x轴的下方。 7.写出同时具备下列两个条件的一次函数表达式（写出一个即可） 。
（1）y随着x的增大而减小。 （2）图象经过点（1,-3） 8.某商店出售一种瓜子，其售价y（元）与瓜子质量x（千克）之间的关系如下表 质量x（千克） 1 2 3 4 …… 售价y（元） 3.60+0.20 7.20+0.20 10.80+0.20 14.40+0.2 …… 由上表得y与x之间的关系式是 。
9.某人用充值50元的IC卡从A地向B地打长途电话，按通话时间收费，3分钟内收费2.4元，以后每超过1分钟加收1元，若此人第一次通话t分钟（3≤t≤45），则IC卡上所余的费用y（元）与t（分）之间的关系式是 。 10.过点P(0,4)，且与直线y=x-3平行的直线解析式为： ；将此直线沿y轴正方向平移2个单位后得到的直线解析式为： 。
*11.如图，已知A地在B地正南方3千米处，甲乙两人同时分别从A、B两地向正北方向匀速直行，他们与A地的距离S（千米）与所行的时间t（小时）之间的函数关系图象如图所示的AC和BD给出，当他们行走3小时后，他们之间的距离为 千米. 二.选择题（每题3分，共24分） 11.下列函数（1）y=πx (2)y=2x-1 (3) (4)y=2-1-3x (5)y=x2-1中，是一次函数的有（ ） （A）4个 （B）3个 （C）2个 （D）1个 12.已知点（-4,y1）,(2,y2)都在直线上，则y1、y2大小关系是（ ） （A）y1>y2 (B)y1=y2 (C)y10,b>0 (B)k>0,b0 (D)k 22.为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，各地采用价格调控手段达到节约用水的目的，某市规定如下用水收费标准：每户每月的用水量不超过6立方米时，水费按每立方米a元收费，超过6立方米时，不超过的部分每立方米仍按a元收费，超过的部分每立方米按c元收费，该市某户今年9、10月份的用水量和所交水费如下表所示： 设某户每月用水量x（立方米），应交水费y（元） （1）求a、c的值。 （2）当x≤6,x≥6时，分别写出y于x的函数关系式。
（3）若该户11月份用水量为8立方米，求该户11月份水费是多少元？ 23.附加题 已知一次函数y=kx+b的图象经过点M(-1,1)及点N(0,2)，设该图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，问：在x轴上是否存在点P，使ABP为等腰三角形？若存在，把符合条件的点P的坐标都求出来；若不存在，请说明理由。
4.二次函数完整的知识点
定义与定义表达式 我们把形如y=ax^2+bx+c（其中a,b,c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数（quadratic function），称a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
一般的，形如y=ax^2+bx+c(a≠0)的函数叫二次函数。自变量（通常为x）和因变量（通常为y）。
右边是整式，且自变量的最高次数是2。 注意，“变量”不同于“未知数”，不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”。
未知数只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），变量可在一定范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。
从函数的定义也可看出二者的差别。 二次函数的解法 二次函数的通式是 y= ax^2+bx+c如果知道三个点 将三个点的坐标带入也就是说三个方程解三个未知数 如题方程一8=a2+b2+c 化简 8=c 也就是说c就是函数与Y轴的交点。
方程二7=a*36+b*6+c 化简 7=36a+6b+c。 方程三7=a*(-6)2+b*(-6)+c化简 7=36a-6b+c。
解出a,b,c 就可以了 。 上边这种是老老实实的解法 。
对（6,7）(-6,7)这两个坐标 可以求出一个对称轴也就是X=0 。 通过对称轴公式x=-b/2a 也可以算 。
如果知道过x轴的两个坐标（y=0的两个坐标的值叫做这个方程的两个根）也可以用对称轴公式x=-b/2a算 。 或者使用韦达定理一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中 。
设两个根为X1和X2 则X1+X2= -b/a X1·X2=c/a 一般式 y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为（-b/2a,4ac-b^2;/4a） 顶点式 y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为（h,k）对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax^2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式 交点式 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点A(x1,0)和 B(x2,0)的抛物线，即b^2-4ac≥0] 由一般式变为交点式的步骤： 二次函数（16张） ∵X1+x2=-b/a x1·x2=c/a ∴y=ax^2+bx+c =a(x^2+b/ax+c/a) =a[﹙x2-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2) 重要概念：a,b,c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上；a0时， 函数图像与x轴有两个交点。
当△=b^2-4ac=0时，函数图像与x轴有一个交点。 当△=b^2-4ac0时，二次函数图像向上开口；当a0，与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a0，与b异号时（即ab0， 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号 可简单记忆为同左异右，即当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab0或a>0;k0,k>0时，二次函数图像与X轴无交点 _______ 当a>0时，函数在x=h处取得最小值ymix=k，在xh范围内是增函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向 上，函数的值域是y>k 当ah范围内事增函数，在 x0，则抛物线开口朝上；a0，图象与x轴交于两点： （[-b-√Δ]/2a,0）和（[-b+√Δ]/2a,0）； Δ=0，图象与x轴交于一点： （-b/2a,0）； Δ0 且X≧（X1+X2）/2时，Y随X的增大而增大，当a>0且X≦（X1+X2）/2时Y随X 的增大而减小 此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连 用）。
交点式是Y=A(X-X1)(X-X2) 知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。两交点X值就是相应X1 X2值。
两图像对称 对于一般式： ①y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c两图像关于y轴对称 ②y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c两图像关于x轴对称 ③y=ax2+bx+c与y=-ax2+bx+c-2b2|a|/4a2关于顶点对称 ④y=ax2+bx+c与y=-ax^2+bx-c关于原点对称。 对于顶点式： ①y=a(x-h)2+k与y=a(x+h)2+k两图像关于y轴对称 ②y=a(x-h)2+k与y=-a(x-h)2-k两图像关于x轴对称 ③y=a(x-h)2+k与y=-a(x-h)2+k关于顶点对称 ④y=a(x-h)2+k与y=-a(x-h)2-k关于原点对称。
（其实①③④就是对f(x)来说f(-x),-f(x),-f(-x)的情况） 编辑本段二次函数与一元二次方程 特别地，二次函数（以下称函数）y=ax²+bx+c， 当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程）， 即ax2+bx+c=0 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。 函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1.二次函数y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2+k,y=ax^2+bx+c（各式中，a≠0）的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表： 解析式 顶点坐标 对 称 轴 y=ax^2 (0,0) x=0 y=ax&^2+K (0,K) x=0 y=a(x-h)^2 (h,0) x=h y=a(x-h)^2+k (h,k) x=h y=ax^2;+bx+c (-b/2a,(4ac-b^2);/4a)x=-b/2a 当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到， 当h0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k(h>0,k>0)的图象 当h>0,k0,k0时，将抛物线y=ax^2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位，就可得到y=a(x+h)^2+k(h0)的图象 当h0时，开口向上，当a0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大。若a0，图象与x轴交于两点A(x1,0)和B(x2,0)，其中。
5.二次函数知识点
★二次函数知识点归纳★ 一、二次函数的几种形式：1. 的性质：的图像及性质 的符号 草图 开口方向 向上 向下 顶点 坐标 对称轴 轴（直线x=0） 轴（直线x=0） 增减性 时，随的增大而减小 时，随的增大而增大 时，随的增大而增大 时，随的增大而减小 最值 时，有最小值. 时，有最大值. 开口 大小 越大，抛物线的开口越小2. 的性质：的图像及性质 的符号 草图 开口方向 向上 向下 顶点坐标 对称轴 轴（直线x=0） 轴（直线x=0） 增减性 时，随的增大而减小 时，随的增大而增大 时，随的增大而增大 时，随的增大而减小 最值 时，有最小值. 时，有最大值. 平移规律 上加下减3. 的性质：的图像及性质 的符号 草图 开口方向 向上 向下 顶点坐标 对称轴 直线x=h 直线x=h 增减性 时，随的增大而减小 时，随的增大而增大 时，随的增大而增大 时，随的增大而减小 最值 时，有最小值. 时，有最大值 平移规律 左加右减。
4. 的性质：的图像及性质 的符号 草图 开口方向 向上 向下 顶点坐标 对称轴 直线x=h 直线x=h 增减性 时，随的增大而减小 时，随的增大而增大 时，随的增大而增大 时，随的增大而减小 最值 时，有最小值. 时，有最大值. 平移规律 左加右减，上加下减5、的性质 二次函数 的符号 草图 开口方向 向上 向下 顶点 坐标 （，） （，） 对称轴 直线X= 直线X= 增减性 x时，随的增大而增大 x时，随的增大而减小 最值 当x=时，y有最小值， 当x=时，y有最大值，平移规律 左加右减，上加下减 二、二次函数的图象与各项系数之间的关系1、抛物线与轴交点：（由的值来决定） 与轴总有交点坐标为，；的值 与轴交点 草图 与轴交点在轴上方 与轴交点为坐标原点 与轴交点在轴下方 2、抛物线与轴交点：（由b2-4ac的值来决定） 求与轴的交点坐标，需解一元二次方程；判别式 抛物线与轴交点情况 一元二次方程跟的情况 与轴有两个交点 有两个不相等实根 与轴只有一个交点 有两个相等的实数根 与轴无交点 无实数根.3、对称轴情况：（由a、b的值共同决定） 由、共同决定 对称轴情况 草图 在轴左侧 是轴 轴的右侧 也可由的符号判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异” 三、二次函数解析式的确定： ①. 一般式：； ②. 顶点式：； ③. 两根式：. 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式. —————————————————————————————— 一元二次函数知识点汇总1.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的一元二次函数.2.二次函数的性质（1）抛物线的顶点是原点，对称轴是轴.（2）函数的图像与的符号关系： ①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当时抛物线开口向下顶点为其最高点3.二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合）轴的抛物线.4.二次函数用配方法可化成：的形式，其中.5.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①决定抛物线的开口方向： 当时，开口向上；当时，开口向下；越小，抛物线的开口越大，越大，抛物线的开口越小。 ②对称轴为平行于轴（或重合）的直线，记作.特别地，轴记作直线. ③定点是抛物线的最值点[最大值（时）或最小值（时）]，坐标为（，）。
6.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：，∴顶点是，对称轴是直线.（2）配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为（，），对称轴是. （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★7.抛物线中，的作用（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故： ①时，对称轴为轴；②时，对称轴在轴左侧；③时，对称轴在轴右侧.（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置. 当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .8. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①；②；③；④；⑤.图像特征如下：函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 当时 开口向上 当时 开口向下 （轴） （0,0） （轴） （0, ） (,0) (,) ()9.用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式. （2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.10.直线与抛物线的交点（或称二次函数与一次函数关系） （1）轴与抛物线得交点为（） （2）与轴平行的直。
6.二次函数相关知识点全概括
二次函数 定义与定义表达式编辑本段 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。
重要概念：（a,b,c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大。）
二次函数表达式的右边通常为二次。 x是自变量，y是x的二次函数 二次函数的三种表达式编辑本段 ①一般式：y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0) ②顶点式[抛物线的顶点 P(h,k) ]:y=a(x-h)2+k ③交点式[仅限于与x轴有交点 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线]：y=a(x-x1 2)(x-x22) 以上3种形式可进行如下转化： ①一般式和顶点式的关系 对于二次函数y=ax2+bx+c，其顶点坐标为[（-b/2a）,(4ac-b2)/4a]，即 h=-b/2a=(x1 +x2)/2 k=(4ac-b2)/4a ②一般式和交点式的关系 x1,x2=[-b±√（b2_4ac）]/2a（即一元二次方程求根公式） 二次函数的图像编辑本段 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图像， 可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
抛物线的性质编辑本段 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。 特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0） 2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ([-b/2a ,(4ac-b2)/4a ] 当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。 当a>0时，抛物线开口向上；当a |a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左侧； 因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a<0，若要b/2a大于0，则a、b要同号 当a与b异号时（即ab 事实上，b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。
可通过对二次函数求导得到。 5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0,c） 6.抛物线与x轴交点个数 Δ= b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。 Δ= b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ= b2-4ac 当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b2/4a；在{x|x-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b2/4a}相反不变 当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax2+c(a≠0) 7.定义域：R 值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[（4ac-b2）/4a，+∞）；②[t，+∞） 奇偶性：偶函数 周期性：无 解析式： ①y=ax2+bx+c[一般式] ⑴a≠0 ⑵a>0，则抛物线开口朝上；a ⑶极值点：（-b/2a,(4ac-b2)/4a）； ⑷Δ=b2-4ac， Δ>0，图象与x轴交于两点： （[-b-√Δ]/2a,0）和（[-b+√Δ]/2a,0）； Δ=0，图象与x轴交于一点： （-b/2a,0）； Δ ②y=a(x-h)2+t[配方式] 此时，对应极值点为（h,t），其中h=-b/2a,t=(4ac-b2)/4a； 二次函数与一元二次方程编辑本段 特别地，二次函数（以下称函数）y=ax2+bx+c， 当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程）， 即ax2+bx+c=0 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。 函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1.二次函数y=ax2,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2 +k,y=ax2+bx+c（各式中，a≠0）的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表： 解析式 y=ax2 y=ax2+K y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 顶点坐标 （0,0） (0,K) (h,0) (h,k) (-b/2a,[4ac-b2]/4a) 对 称 轴 x=0 x=0 x=h x=h x=-b/2a 当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到， 当h0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象； 当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象； 当h0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象； 当h<0,k0时，开口向上，当a0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大.若a0，图象与x轴交于两点A(x1,0)和B(x2,0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x2-x1| 另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2*(-b/2a)-A |(A为其中一点的横坐标) 当△=0。.。
7.一元二次函数配方,,公式
顶点式求法举例：一个二次函数顶点为（3,5），且过（4,0），求其解析式. 解：设该函数关系式为y=a(x-h)^2+c，顶点（3,5），过点（4,0），则h=3,c=5，代入x=4,y=0即可求出a的值，于是就能求出其解析式.你还可以采用以下方法：因为该函数顶点（3,5），所以该函数对称轴为x=3，那么函数必过（4,0）的对称点（2,0），于是就有了3个点，即可用一般式求解. 第三个方法叫交点式，当题目中有函数与x轴的两个交点和另一点时用，举例如下：一个二次函数过（4,0）,(-1,0)和（0,3），求其解析式. 解：设该函数关系式为y=a(x+m)(x+n)过（4,0）,(-1,0)和（0,3），当x=4时y为0，那么（x+m）或（x+n）中必有一个为0，设它是（x+m）那么m=-4.同理，n=1.于是原函数解析式为y=a(x-4)(x+1)，代入x=0,y=3即可求解答案补充 一般式和顶点式的关系.二次函数顶点为（a,b）且过（C,D），则用顶点式，二次函数过（a,b）(C,D),(E.F)则用一般式（注；若，D=b=0用交点式）。
