1.勾股定理知识点总结
必修作业模版内容1.教学设计学科名称2.所在班级情况，学生特点分析3.教学内容分析4.教学目标5.教学难点分析6.教学课时7.教学过程8.课堂练习9.作业安排10. 附录（教学资料及资源）11. 自我问答 北师大版八年级数学（上册）教师用书第一章 勾股定理1.1 探索勾股定理课前预习·教学有方◎点击关键词 勾股定理 平方 证明 计算 应用◎目标导航船 1.通过拼图活动和勾股定理的文化背景了解，让学生发现勾股定理.2. 能利用材料，通过剪、拼图验证勾股定理. 3. 能运用勾股定理根据直角三角形的两条边求第三条边，并能解决简单的生活、生产实践中的问题. 3.重点：勾股定理的证明及应用。
4.难点：学生数学语言的运用。◎创意开场白 勾股定理是在前面学习了直角三角形一些性质的基础上学习的，它是几何的重要定理之一，它揭示了直角三角形三边的数量关系，它将形与数密切联系起来，在数学的发展中起着非常重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用.学生通过对勾股定理的学习，对直角三角形有进一步的认识和理解，为今后学习解直角三角形打下基础。
一、欣赏图片引人2002年国际数学家大会把“赵爽弦图”确定为本届大会的会徽。你见过这个图案吗？你听说过勾股定理吗？引入新课 §18.1勾股定理二、了解历史引人商高是公元前十一世纪的中国人。
当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。
商高说：”…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”什么是”勾、股”呢？在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为”勾”，下半部分称为”股”。
商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成”勾三股四弦五”。
由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫作”商高定理”。三、从一个美丽的故事引人世界的许多科学家正在试探着寻找“外星人”，人们为了取得与外星人的联系，想了很多方法。
早在1820年，德国著名数学家高斯曾提出，可在西伯利亚的森林里伐出一片直角三角形的空地，然后在这片空地里种上麦子，以三角形的三条边为边种上三片正方形的松树林，如果有外星人路过地球附近，看到这个巨大的数学图形，便会知道：这个星球上有智慧生命。我国数学家华罗庚也曾提出：若要沟通两个不同星球的信息交往，最好利用太空飞船带上这个图形，并发射到太空中去。
四、从一个著名问题引人《九章算术》有一勾股定理名题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央.出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”本题的意思是：（如图1）有一水池一丈见方，池中生有一棵类似芦苇的植物，露出水面一尺，如把它引向岸边，正好与岸边齐。问水有多深，该植物有多长？图1教师通过将实际问题转化成直角三角形的三边关系问题，从而出示课题——勾股定理。
◎温故而知新【温故】1、三角形按照角的大小可以分为：锐角三角形、直角三角形、和钝角三角形。2、三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边。
【知新】勾股定理：1.直角三角形 两直角边的平方和 等于 斜边的平方 .2.几何语言表述：如图1.1-1，在RtΔABC中， C= 90°。则： BC 2+ AC 2= AB 2若BC=a,AC=b,AB=c，则上面的定理可以表示为： 图1.1-1乐学好思1到目前为止，学过的直角△ABC的主要性质是：（如图1.1-2）∠C=90°，（用几何语言表示）⑴两锐角之间的关系： ；⑵若D为斜边中点，则斜边中线等于斜边的一半；⑶若∠B=30°，则∠B的对边和斜边： ；⑷三边之间的关系： . ABCD图1.1-2我的疑问： 课堂研习·一点即通◎知识全突破●知识点1 探索勾股定理 导航指数■■■■□□1、请在坐标纸上画出一个直角三角形，使它的两条直角边分别是3和4，分别以三边向外做正方形，如图1.1-3，计算A的面积 B的面积 C的面积如图 16 9 25ABC图1.1-3小组讨论，交流SA+SB=SC结论：2、请你利用坐标纸，自己选取你喜欢的两个数作为直角边，探索上述关系是否依旧成立？（如图1.1-4）ABC图1.1-4结论：SA+SB=SC即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积.问题：1、猜想是否所有的直角三角形的三边都具有此性质？用直角边是a、b，斜边是c的四个全等直角三角形（图1.1-5）拼成（图1.1-6）.观察图形并思考、填空：大正方形的面积可表示为：（a+b）2 这个大正方形的面积还可以怎么表示？；于是可列等式为；将等式化简、整理，得。
小结：勾股定理图1.1-7直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.如图1.1-7，即：若△ABC中， ∠ACB=90° ，则 .变形：若∠ACB=90°，则a2= c2 -b2 b2 = c2 – a2教师在此基础上介绍“勾，股，弦”的含义，进行点题，结合直角三角形，让学生从中体验勾股定理蕴含的深刻的数形结合思想。●知识点2 定理证明：你会证明勾股定理吗？ 导航指数■■■■■勾股定理的证明方法有数百种之多，现列举两种典型证法。
请根据老师分组选取一种证法加以研究，并将结果与其他小组进行交流！（一）拼图法——藏与。
2.勾股定理公式A=?B=?C=
勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方.这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”.勾股定理（又称商高定理，毕达哥拉斯定理）是一个基本的几何定理，早在中国商代就由商高发现.据说毕达高拉斯发现了这个定后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”.勾股定理指出：直角三角形两直角边（即“勾”，“股”）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方.也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那麽 a2 + b2 = c2 勾股定理现发现约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一.勾股数组 满足勾股定理方程a2 + b2 = c2的正整数组（a,b,c）.例如（3,4,5）就是一组勾股数组.由于方程中含有3个未知数，故勾股数组有无数多组.推广 如果将直角三角形的斜边看作二维平面上的向量，将两斜边看作在平面直角坐标系坐标轴上的投影，则可以从另一个角度考察勾股定理的意义.即，向量长度的平方等于它在其所在空间一组正交基上投影长度的平方之和.。
3.勾股定理公式
勾股定理公式：
勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。
勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
在中国，商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。
扩展资料：
勾股定理的意义：
1、勾股定理的证明是论证几何的发端；
2、勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，即它是第一个把几何与代数联系起来的定理；
3、勾股定理导致了无理数的发现，引起第一次数学危机，大大加深了人们对数的理解；
4、勾股定理是历史上第—个给出了完全解答的不定方程，它引出了费马大定理；
5、勾股定理是欧氏几何的基础定理，并有巨大的实用价值.这条定理不仅在几何学中是一颗光彩夺目的明珠，被誉为“几何学的基石”。
而且在高等数学和其他科学领域也有着广泛的应用.1971年5月15日，尼加拉瓜发行了一套题为“改变世界面貌的十个数学公式”邮票，这十个数学公式由著名数学家选出的，勾股定理是其中之首。
参考资料来源：搜狗百科——勾股定理
4.勾股定理知识点总结
必修作业模版内容 1.教学设计学科名称 2.所在班级情况，学生特点分析 3.教学内容分析 4.教学目标 5.教学难点分析 6.教学课时 7.教学过程 8.课堂练习 9.作业安排 10. 附录（教学资料及资源） 11. 自我问答 北师大版八年级数学（上册）教师用书 第一章 勾股定理 1.1 探索勾股定理 课前预习·教学有方 ◎点击关键词 勾股定理 平方 证明 计算 应用 ◎目标导航船 1.通过拼图活动和勾股定理的文化背景了解，让学生发现勾股定理. 2. 能利用材料，通过剪、拼图验证勾股定理. 3. 能运用勾股定理根据直角三角形的两条边求第三条边，并能解决简单的生活、生产实践中的问题. 3.重点：勾股定理的证明及应用。
4.难点：学生数学语言的运用。 ◎创意开场白 勾股定理是在前面学习了直角三角形一些性质的基础上学习的，它是几何的重要定理之一，它揭示了直角三角形三边的数量关系，它将形与数密切联系起来，在数学的发展中起着非常重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用.学生通过对勾股定理的学习，对直角三角形有进一步的认识和理解，为今后学习解直角三角形打下基础。
一、欣赏图片引人 2002年国际数学家大会把“赵爽弦图”确定为 本届大会的会徽。 你见过这个图案吗？ 你听说过勾股定理吗？ 引入新课 §18.1勾股定理 二、了解历史引人 商高是公元前十一世纪的中国人。
当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。
商高说：”…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”什么是”勾、股”呢？在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为”勾”，下半部分称为”股”。
商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成”勾三股四弦五”。
由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫作”商高定理”。 三、从一个美丽的故事引人 世界的许多科学家正在试探着寻找“外星人”，人们为了取得与外星人的联系，想了很多方法。
早在1820年，德国著名数学家高斯曾提出，可在西伯利亚的森林里伐出一片直角三角形的空地，然后在这片空地里种上麦子，以三角形的三条边为边种上三片正方形的松树林，如果有外星人路过地球附近，看到这个巨大的数学图形，便会知道：这个星球上有智慧生命。 我国数学家华罗庚也曾提出：若要沟通两个不同星球的信息交往，最好利用太空飞船带上这个图形，并发射到太空中去。
四、从一个著名问题引人 《九章算术》有一勾股定理名题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央.出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.” 本题的意思是：（如图1）有一水池一丈见方，池中生有一棵类似芦苇的植物，露出水面一尺，如把它引向岸边，正好与岸边齐。问水有多深，该植物有多长？ 图1 教师通过将实际问题转化成直角三角形的三边关系问题，从而出示课题——勾股定理。
◎温故而知新 【温故】 1、三角形按照角的大小可以分为：锐角三角形、直角三角形、和钝角三角形。 2、三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边。
【知新】 勾股定理： 1.直角三角形 两直角边的平方和 等于 斜边的平方 . 2.几何语言表述：如图1.1-1，在RtΔABC中， C= 90°。 则： BC 2+ AC 2= AB 2 若BC=a,AC=b,AB=c， 则上面的定理可以表示为： 图1.1-1 乐学好思1 到目前为止，学过的直角△ABC的主要性质是：（如图1.1-2）∠C=90°，（用几何语言表示） ⑴两锐角之间的关系： ； ⑵若D为斜边中点，则斜边中线等于斜边的一半； ⑶若∠B=30°，则∠B的对边和斜边： ； ⑷三边之间的关系： . A B C D 图1.1-2 我的疑问： 课堂研习·一点即通 ◎知识全突破 ●知识点1 探索勾股定理 导航指数■■■■□□ 1、请在坐标纸上画出一个直角三角形，使它 的两条直角边分别是3和4，分别以三边向外做正方形，如图1.1-3，计算 A的 面积 B的 面积 C的 面积 如图 16 9 25 A B C 图1.1-3 小组讨论，交流 SA+SB=SC 结论： 2、请你利用坐标纸，自己选取你喜欢的两个数作为直角边，探索上述关系是否依旧成立？（如图1.1-4） A B C 图1.1-4 结论：SA+SB=SC 即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积. 问题： 1、猜想是否所有的直角三角形的三边都具有 此性质？用直角边是a、b，斜边是c的四个全等直角三角形（图1.1-5）拼成（图1.1-6）. 观察图形并思考、填空： 大正方形的面积可表示为：（a+b）2 这个大正方形的面积还可以怎么表示？ ； 于是可列等式为 ； 将等式化简、整理，得 。
小结：勾股定理 图1.1-7 直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.如图1.1-7， 即：若△ABC中， ∠ACB=90° ，则 . 变形：若∠ACB=90°， 则a2= c2 -b2 b2 = c2 – a2 教师在此基础上介绍“勾，股，弦”的含义，进行点题，结合直角三角形，让学生从中体验勾股定理蕴含的深刻的数形结合思想。 ●知识点2 定理证明：你会证明勾股定理吗？ 导航指数■■■■■ 勾股定理的证明方法有数百种之多，现列举两种典型证法。
请根据老师分组选取一种证法加以研究，并将结。
5.勾股定理的应用重点知识点
勾股定理的应用重点知识点
第一、①面积法证明勾股定理；
②在直角三角形中已知任意两边求第三边；
③斜边上高h与a、b、c关系；→an=ch
④用相似三角形可以纯数学证明勾股定理，并有知二求四。
第二、①勾股定理证明的特殊性；
②在直角三角形中已知一边，并且另外两边数量上存在关系，求另外的两条边；
③在直角三角形中已知一边，且有一个角为30°或45°求另外两边。
第三、直角三角形所有已的性质。
①角的性质：两锐角互余；
②边的性质：勾股定理；
③边与角的性质：
ⅰ.30°角所对的直角边等于斜边的一半；
ⅱ.含30°角的直角三角形三边之比为1：√3:2;
ⅲ.含45°角的直角三角形三边之比为1:1：√2.
第四、勾股定理在实际生活中的应用。
如求距离，如确定是否直角等。
