高考有关复数的知识

1.高考数学中复数的几种常见题型

中国现代教育网 全国最大教师交流平台复数的几种常见题型山东 史纪卿 鲁彩凌一、利用复数的代数形式 由复数的代数形式为 知，用代入法解题是最基本且常用的方法.（ ）z x yi x y  R， 例 1 已知 ， 且 ，若 ，则 的最大值是（ ）1z2zC11z1 2 2z z i 1 2z z A.6B.5C.4D.3 解析：设 ， ，那么 .1z x yi 2z x mi  2 2 1x y  ， ， ，1 1x≤≤1 1y≤≤2y m  .2 2 2 2 2 21 2 (2 ) ( ) 4 ( 2 ) 4( ) 4 8 8 8z z x y m x y y x y y y              ， 时， ，故选C.1 1y∵≤≤1y ∴1 2 max 4z z  二、利用复数相等的充要条件 在复数集 中，任意取两个数 ， ， a bi a b  C R,|a bi（ ）c di a b c d R，，，，且 .a bi c di a c    b d 例 2 已知复数 ，求实数 使 .1z i a b,22 ( 2 )az bz a z   解： ，1z i ∵ ，2 ( 2 ) ( 2 )az bz a b a b i    ∴ .2 2 2( 2 ) ( 2) 4 4( 2) ( 4 ) 4( 2)a z a a i a a a i          因为 都是实数，所以由 ，得a b,22 ( 2 )az bz a z  22 42 4( 2)a b a aa b a    ，， 两式相加，整理得 .26 8 0a a   解得 ， ，12a 24a  对应得 ， .11b 22b 所以，所求实数为 ， 或 ， .2a 1b 4a 2b 三、利用复数除法法则以及虚数 ， 的运算性质i 1.形如 ，可以乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”；a bic di 2.熟记一些常用的结果：。

2.高考数学中复数的几种常见题型

中国现代教育网 全国最大教师交流平台

复数的几种常见题型

山东 史纪卿 鲁彩凌

一、利用复数的代数形式

由复数的代数形式为 知，用代入法解题是最基本且常用的方法.

( )z x yi x y  R,

例 1 已知 ， 且 ，若 ，则 的最大值是（ ）

1

z

2

zC

11z

1 2 2z z i 

1 2

z z

A.6B.5C.4D.3

解析：设 ， ，那么 .

1

z x yi 

2

z x mi  

2 2 1x y 

, , ,

1 1x≤≤

1 1y≤≤

2y m 

.

2 2 2 2 2 2

1 2 (2 ) ( ) 4 ( 2 ) 4( ) 4 8 8 8z z x y m x y y x y y y             

时， ，故选C.

1 1y∵≤≤

1y ∴

1 2 max 4z z 

二、利用复数相等的充要条件

在复数集 中，任意取两个数 ， ，

 

a bi a b  C R,|

a bi

( )c di a b c d R,,,

且 .

a bi c di a c    

b d

例 2 已知复数 ，求实数 使 .

1z i 

a b,

2

2 ( 2 )az bz a z  

解： ，

1z i ∵

,

2 ( 2 ) ( 2 )az bz a b a b i    ∴

.

2 2 2

( 2 ) ( 2) 4 4( 2) ( 4 ) 4( 2)a z a a i a a a i         

因为 都是实数，所以由 ，得

a b,

2

2 ( 2 )az bz a z  

2

2 4

2 4( 2)

a b a a

a b a

  

  



,

,

两式相加，整理得 .

26 8 0a a  

解得 ， ，

12a 

24a 

对应得 ， .

11b 

22b

所以，所求实数为 ， 或 ， .

2a 

1b 

4a 

2b

三、利用复数除法法则以及虚数 ， 的运算性质

i



1.形如 ，可以乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”；

a bi

c di





2.熟记一些常用的结果：

3.复数的重要知识考点

1.可数名词有复数形式，不可数名词没有复数形式，例如water “水“没有复数2.复数有规律的变化和无规律的变化。

1.1 名词复数的规则变化 情况 构成方法 读音 例词 一般情况 加 -s 清辅音后读/s/ map-maps 浊辅音和元音后读 /z/ bag-bags /car-cars 以s, sh, ch, x等结尾 加 -es 读 /iz/ bus-buses/ watch-watches 以ce, se, ze，等结尾 加 -s 读 /iz/ license-licenses 以辅音字母+y结尾 变y 为i再加es 读 /z/ baby—babies 1.2 其它名词复数的规则变化 1） 以y结尾的专有名词，或元音字母+y 结尾的名词变复数时，直接加s变复数。例如： two Marys the Henrys monkey—monkeys holiday—holidays 2） 以o 结尾的名词，变复数时： a表示无生命的单词. 加s，如： photo—photos piano—pianos radio—radios zoo—zoos; b. 表示有生命的单词加es，如：potato–potatoes tomato–tomatoes c. 上述a和b两种方法均可，如zero—zeros / zeroes。

3） 以f或fe 结尾的名词变复数时： a. 加s，如： belief—beliefs roof—roofs safe—safes gulf—gulfs; b. 去f,fe 加ves，如：half—halves knife—knives leaf—leaves wolf—wolves wife—wives life—lives thief—thieves; c. 上述a和b两种方法均可，如handkerchief: handkerchiefs / handkerchieves。 1.3 名词复数的不规则变化 1) child—children foot—feet tooth—teeth mouse—mice man—men woman—women 注意：由一个词加 man 或 woman构成的合成词，其复数形式也是 -men 和-women，如an Englishman,two Englishmen。

但German不是合成词，故复数形式为Germans;Bowman是姓，其复数是the Bowmans。 2） 单复同形，如deer,sheep,fish,Chinese,Japanese ,li,jin,yuan,two li,three mu,four jin等。

但除人民币的元、角、分外，美元、英镑、法郎等都有复数形式。如：a dollar, two dollars; a meter, two meters。

3）集体名词，以单数形式出现，但实为复数。例如： people police cattle 等本身就是复数，不能说 a people,a police,a cattle，但可以说a person,a policeman,a head of cattle, the English,the British,the French,the Chinese,the Japanese,the Swiss 等名词，表示国民总称时，作复数用，如The Chinese are industries and brave. 中国人民是勤劳勇敢的。

4） 以s结尾，仍为单数的名词，如： a. maths,politics,physics等学科名词，一般是不可数名词，为单数。 b. news 为不可数名词。

c. the United States,the United Nations 应视为单数。 The United Nations was organized in 1945. 联合国是1945年组建起来的。

d. 以复数形式出现的书名，剧名，报纸，杂志名，也可视为单数。例如： “The Arabian Nights” is a very interesting story-book. 《一千零一夜》是一本非常有趣的故事书。

5） 表示由两部分构成的东西，如：glasses （眼镜） trousers, clothes等，若表达具体数目，要借助数量词 pair（对，双）； suit（套）； a pair of glasses; two pairs of trousers等。 6） 另外还有一些名词，其复数形式有时可表示特别意思，如：goods货物，waters水域，fishes（各种）鱼。

1.4不同国籍人的单复数 国籍 总称（谓语用复数） 单数 复数 中国人 the Chinese a Chinese two Chinese 瑞士人 the Swiss a Swiss two Swiss 澳大利亚人the Australians an Australian two Australians 俄国人 the Russians a Russian two Russians 意大利人 the Italians an Italian two Italians 希腊人 the Greek a Greek two Greeks 法国人 the French a Frenchman two Frenchmen 日本人 the Japanese a Japanese two Japanese 美国人 the Americans an American two Americans 印度人 the Indians an Indian two Indians 加拿大人 the Canadians a Canadian two Canadians 德国人 the Germans a Germans two Germans 英国人 the English an Englishman two Englishmen 瑞典人 the Swedish a Swede two Swedes 1.5以man ,woman 组成的复合名词，变名词复数，把man改成men,woman改成women，后面的名词也变成复数名词例如man driver-men drivers1.6但以boy,girl组成的复合名词，变名词复数，只把后面的名词变成复数形式。boy friend -boy friends1.7复合词中，把主要名词变成复数形式，an apple tree- apple treessister-in law（嫂子）-sisters-in law1.8 grow-up ，成年人grow-up变复数grow-ups三。

many+可数名词复数，much+不可数名词四，不可数名词做主语时视为单数，谓语动词用单数形式五。不可数名前不可加a,an.。