1.平面向量及运算法则基础知识
设a=(x,y),b=(x’,y’). 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则. AB+BC=AC. a+b=(x+x’,y+y’). a+0=0+a=a. 向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a； 结合律：（a+b）+c=a+(b+c). 2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减” a=(x,y) b=(x’,y’) 则 a-b=(x-x’,y-y’). 数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣. 当λ>0时，λa与a同方向； 当λ1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或反方向（λ0）或反方向（λ。
2.平面向量的基础知识（具体点）
亲爱的楼主：相关概念有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作或AB；向量的模：有向线段AB的长度叫做向量的模，记作|AB|；零向量：长度等于0的向量叫做零向量，记作或0。
（注意粗体格式，实数“0”和向量“0”是有区别的，书写时要在实数“0”上加箭头，以免混淆）；相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量；平行向量（共线向量）：两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量，零向量与任意向量平行，即0//a；单位向量：模等于1个单位长度的向量叫做单位向量，通常用e表示，平行于坐标轴的单位向量习惯上分别用i、j表示。相反向量：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-（-a）=a，零向量的相反向量仍然是零向量。
[1]3表示方法几何表示具有方向的线段叫做有向线段，我们以A为起点、B为终点的有向线段记作，则向量可以相应地记作。但是，区别于有向线段，在一般的数学研究中，向量是可以平移的。
[2]坐标表示在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。任作一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得： 向量的坐标表示a=xi+yj，我们把（x,y）叫做向量a的（直角）坐标，记作：a=(x,y)。
其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示。在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。
根据定义，任取平面上两点A(x1,y1),B(x2,y2)，则向量AB=(x2-x1,y2-y1)，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标加法向量加法的三角形法则已知向量AB、BC，再作向量AC，则向量AC叫做AB、BC的和，记作AB+BC，即有：AB+BC=AC。用坐标表示时，显然有：AB+BC=(x2-x1,y2-y1)+(x3-x2,y3-y2)=(x2-x1+x3-x2,y2-y1+y3-y2)=(x3-x1,y3-y1)=AC。
这就是说，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差三角形法则：AB+BC=AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则，简记为：首尾相连、连接首尾、指向终点。四边形法则：已知两个从同一点A出发的两个向量AC、AB，以AC、AB为邻边作平行四边形ACDB，则以A为起点的对角线AD就是向量 向量加法的四边形法则AC、AB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则，简记为：共起点 对角连。
对于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。向量的加法满足所有的加法运算定律，如：交换律、结合律。
减法AB-AC=CB，这种计算法则叫做向量减法的三角形法则，简记为：共起点、连终点、方向指向被减向量。-（-a）=a;a+(-a)=(-a)+a=0;a-b=a+(-b)。
[2]数乘实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa。当λ>0时，λa的方向和a的方向相同，当λa⊥ba=kba//be1·e2=|e1||e2|cosθ[2]向量积向量a与向量b的夹角：已知两个非零向量，过O点做向量OA=a，向量OB=b， 向量积示意图则∠AOB=θ 叫做向量a与b的夹角，记作。
已知两个非零向量a、b，那么a*b叫做a与b的向量积或外积。向量积几何意义是以a和b为边的平行四边形面积，即S=|a*b|。
若a、b不共线，a*b是一个向量，其模是|a*b|=|a||b|sin,a*b的方向为垂直于a和b，且a、b和a*b按次序构成右手系。若a、b共线，则a*b=0。
若a=(x1,y1,0),b=(x2,y2,0)，则有：向量积具有如下性质：a*a=0a‖ba*b=0a*b=-b*a（λa）*b=λ（a*b）=a*（λb）(a+b)*c=a*c+b*c[3]混合积给定空间三向量a、b、c，向量a、b的向量积a*b，再和向量c作数量积（a*b）·c，所得的数叫做三向量a、b、c的混合积，记作（a,b,c）或（abc），即（abc）=(a,b,c)=(a*b)·c混合积具有下列性质：三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V，并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数；当a、b、c构成左手系时，混合积是负数，即（abc）=εV（当a、b、c构成右手系时ε=1；当a、b、c构成左手系时ε=-1）上条性质的推论：三向量a、b、c共面的充要条件是（abc）=0(abc) = (bca) = (cab) = – (bac) = – (cba) = – (acb)[祝您步步高升期望你的采纳，谢谢。
3.高中数学向量方面有哪些应注意的问题
向量部分1.平面向量知识结构表2.向量的概念（1）向量的基本概念①定义既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小也就是向量的长度，叫做向量的模.②特定大小或特定关系的向量零向量，单位向量，共线向量（平行向量），相等向量，相反向量.③表示法：几何法：画有向线段表示，记为 或α.④在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数（坐标）来表示取x轴、y轴上两个单位向量 ，作基底，则平面内作一向量 =x +y ，记作：=（x,y） 称作向量 的坐标.=（x2-x1,y2-y1），其中A(x1,y1),B(x2,y2)(2)向量的运算①向量的加法与减法：定义与法则（如图5-1）:a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2).其中a=(x1,y1),b=(x2,y2).运算律：a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c),a+0=0+a=a.②向量的数乘（实数与向量的积）定义与法则（如图5-2）：λa=λ（x,y）=（λx，λy）(1)︱ ︱=︱ ︱ ︱；（2） 当 >0时，与 的方向相同；当 0；当点P在线段 或 的延长线上时，。
4.求平面向量的基本知识总结~找高手·
平面向量1、向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知A(1,2),B(4,2)，则把向量 按向量 =（-1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0）) (2)零向量：长度为0的向量叫零向量，记作： ，注意零向量的方向是任意的；（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与 共线的单位向量是 ）；（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量 、叫做平行向量，记作： ‖ ，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线， 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有 ）；④三点 共线 共线；（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 的相反向量是- 。
如下列命题：（1）若 ，则 。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
（3）若 ，则 是平行四边形。（4）若 是平行四边形，则 。
（5）若 ，则 。（6）若 ，则 。
其中正确的是_______（答：（4）(5))2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 ， ， 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与 轴、轴方向相同的两个单位向量 ， 为基底，则平面内的任一向量 可表示为 ，称 为向量 的坐标， = 叫做向量 的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
3.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数 、，使a= e1+ e2。如（1）若 ，则 ______（答： ）；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. B. C. D. （答：B）;(3)已知 分别是 的边 上的中线，且 ，则 可用向量 表示为_____（答： ）；（4）已知 中，点 在 边上，且 ， ，则 的值是___（答：0）4、实数与向量的积：实数 与向量 的积是一个向量，记作 ，它的长度和方向规定如下： 当 >0时， 的方向与 的方向相同，当 <0时， 的方向与 的方向相反，当 =0时， ，注意： ≠0。
5、平面向量的数量积：（1）两个向量的夹角：对于非零向量 ， ，作 ， 称为向量 ， 的夹角，当 =0时， ， 同向，当 = 时， ， 反向，当 = 时， ， 垂直。（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量 ， ，它们的夹角为 ，我们把数量 叫做 与 的数量积（或内积或点积），记作： ，即 = 。
规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如（1）△ABC中， ， ， ，则 _________（答：-9）;(2)已知 ， 与 的夹角为 ，则 等于____（答：1）;(3)已知 ，则 等于____（答： ）；（4）已知 是两个非零向量，且 ，则 的夹角为____（答： ） （3） 在 上的投影为 ，它是一个实数，但不一定大于0。
如已知 ， ，且 ，则向量 在向量 上的投影为______（答： ） （4） 的几何意义：数量积 等于 的模 与 在 上的投影的积。（5）向量数量积的性质：设两个非零向量 ， ，其夹角为 ，则：① ；②当 ， 同向时， = ，特别地， ；当 与 反向时， =- ；当 为锐角时， >0，且 不同向， 是 为锐角的必要非充分条件；当 为钝角时， ③非零向量 ， 夹角 的计算公式： ；④ 。
如（1）已知 ， ，如果 与 的夹角为锐角，则 的取值范围是______（答： 或 且 ）；（2）已知 的面积为 ，且 ，若 ，则 夹角 的取值范围是_________（答： ）；（3）已知 与 之间有关系式 ，①用 表示 ；②求 的最小值，并求此时 与 的夹角 的大小（答：① ；②最小值为 ， ）6、向量的运算：（1）几何运算：①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设 ，那么向量 叫做 与 的和，即 ；②向量的减法：用“三角形法则”：设 ，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。
如（1）化简：① ___；② ____；③ _____（答：① ；② ；③ ）；（2）若正方形 的边长为1， ，则 =_____（答： ）；（3）若O是 所在平面内一点，且满足 ，则 的形状为____（答：直角三角形）；（4）若 为 的边 的中点， 所在平面内有一点 ，满足 ，设 ，则 的值为___（答：2）;(5)若点 是 的外心，且 ，则 的内角 为____（答： ）；（2）坐标运算：设 ，则：①向量的加减法运算： ， 。如（1）已知点 ， ，若 ，则当 =____时，点P在第一、三象限的角平分线上（答： ）；（2）已知 ， ，则 （答： 或 ）；（3）已知作用在点 的三个力 ，则合力 的终点坐标是 （答：（9,1）） ②实数与向量的积： 。
③若 ，则 ，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。如设 ，且 ， ，则C、D的坐标分别是__________（答： ）；④平面向量数量积： 。
如已知向量 =（sinx,cosx。
5.平面向量的解题法
基础知识： 1.实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么（1） 结合律：λ（μa）=（λμ）a; (2)第一分配律：（λ+μ）a=λa+μa; (3)第二分配律：λ（a+b）=λa+λb. 2.向量的数量积的运算律： （1） a•b= b•a （交换律）； （2）( a)•b= (a•b)= a•b= a•（ b）; (3)(a+b)•c= a •c +b•c. 切记：两向量不能相除（相约）；向量的“乘法”不满足结合律， 3.平面向量基本定理如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2.不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 4.向量平行的坐标表示 设a= ,b= ，且b 0，则a b(b 0) . 5.a与b的数量积（或内积）a•b=|a||b|cosθ. 6. a•b的几何意义数量积a•b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积. 7.平面向量的坐标运算 （1）设a= ,b= ，则a+b= . (2)设a= ,b= ，则a-b= . (3)设A ,B ， 则 . （4）设a= ，则 a= . (5)设a= ,b= ，则a•b= . 8.两向量的夹角公式 （a= ,b= ）. 9.平面两点间的距离公式（A ,B ）. = 10.向量的平行与垂直 设a= ,b= ，且b 0，则A||b b=λa . a b(a 0) a•b=0 .。
6.数学中的向量怎么学
向量、向量的加法与减法，实数与向量的积，平面向量的坐标表示，线段的定比分点，平面向量的数量积，平面两点间的距离，平移，正弦定理，余弦定理，斜三角形解法举例
平面向量学习复习中应注意的问题的[考试要求]
(1)理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念.
(2)掌握向量的加法和减法.
(3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.
(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.
(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向理的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件.
(6)掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用，掌握平移公式.
(7)掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题.
平面向量学习复习中应注意的问题的【高考展望】
向量是新教材新增加的内容，体现了现代数学思想.
向量由于具有几何形式和代数形式的“双重角色”，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为考查多项内容的纽带.在高考试题中，主要考查有关的基础知识，突出向量的工具作用.向量在解决几何问题、物理问题有重大的作用，近年来以向量为背景的试题的高考分值约占10%.
平面向量的考查要求，一是主要考查平面向量的性质和运算法则，以及基本的运算技能，考查学生掌握平面向量的和、差、数乘和内积的运算法则，理解其直观的几何意义，并能正确的进行计算；二是考查向量的坐标表示，向量的线性运算；其三是和其它数学知识相结合，如与曲线、数列、函数、三角等等知识融合在一起，一般为中、低档题.
在近四年的高考理科试卷中，每年两题，其中小题有四个，考查向量的性质和运算法则，数乘、数量积、共线向量与轨迹.两个大题都是以向量形式为条件，讨论二次曲线问题.
可以看出，向量已由解决问题的辅助工具上升为分析问题和解决问题的必不可少的工具之一.复习中，应注意本章内容在高考中的地位.主要是解决平面几何、解析几何、三角以及复数中图形的“平行、垂直、定比分点，夹角”等问题，解决这些问题都可以适当运用向量的知识.利用向量解决物理中的运动学、力学问题不可忽视.
平面向量学习复习中应注意的问题
7.向量的基本公式与做题方法
如果 a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得 b=λa. 证明： 1）充分性，对于向量 a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使 b=λa，那么由 实数与向量的积的定义 知，向量a与b共线. 2）必要性，已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的m倍，即 ∣b∣=m∣a∣.那么当向量a与b同方向时，令 λ=m，有 b =λa，当向量a与b反方向时，令 λ=-m，有 b=-λa.如果b=0，那么λ=0. 3）唯一性，如果 b=λa=μa，那么 （λ-μ）a=0.但因a≠0，所以 λ=μ. 证毕.[编辑本段]推论 推论1 两个向量a、b共线的充要条件是：存在不全为零的实数λ、μ，使得 λa+μb=0. 证明： 1）充分性，不妨设μ≠0，则由 λa+μb=0 得 b=（λ/μ）a.由 共线向量基本定理 知，向量a与b共线. 2）必要性，已知向量a与b共线，若a≠0，则由共线向量基本定理知，b=λa，所以 λa-b=0，取 μ=-1≠0，故有 λa+μb=0，实数λ、μ不全为零.若a=0，则取μ=0，取λ为任意一个不为零的实数，即有 λa+μb=0. 证毕. 推论2 两个非零向量a、b共线的充要条件是：存在全不为零的实数λ、μ，使得 λa+μb=0. 证明： 1）充分性，∵μ≠0，∴由 λa+μb=0 可得 b=（λ/μ）a.由 共线向量基本定理 知，向量a与b共线. 2）必要性，∵向量a与b共线，且a≠0，则由 共线向量基本定理 知，b=λa；又∵b≠0，∴λ≠0； 取 μ=-1≠0，就有 λa+μb=0，实数λ、μ全不为零. 证毕. 推论3 如果a、b是两个不共线的向量，且存在一对实数λ、μ，使得 λa+μb=0，那么λ=μ=0. 证明：（反证法） 不妨假设μ≠0，则由 推论1 知，向量a、b共线；这与已知向量a、b不共线矛盾，故假设是错的，所以λ=μ=0. 证毕. 推论4 如果三点P、A、B不共线，那么点C在直线AB上的充要条件是：存在唯一实数λ，使得 向量PC=(1-λ)向量PA+λ向量PB.（其中，向量AC=λ向量AB）. 证明： ∵三点P、A、B不共线，∴向量AB≠0， 由 共线向量基本定理 得， 点C在直线AB上 向量AC 与 向量AB 共线 存在唯一实数λ，使 向量AC=λ·向量AB ∵三点P、A、B不共线，∴向量PA 与 向量PB 不共线， ∴向量AC=λ·向量AB 向量PC-向量PA=λ·（向量PB-向量PA） 向量PC=(1-λ)向量PA+λ·向量PB. 证毕. 推论5 如果三点P、A、B不共线，那么点C在直线AB上的充要条件是：存在唯一一对实数λ、μ，使得 向量PC=λ向量PA+μ向量PB.（其中，λ+μ=1） 证明： 在推论4 中，令 1-λ=μ ，则λ+μ=1，知： 三点P、A、B不共线 点C在直线AB上的充要条件是：存在实数λ、μ，使得向量PC=λ向量PA+μ向量PB.（其中，λ+μ=1） 下面证唯一性，若 向量PC=m向量PA+n向量PB，则 m向量PA+n向量PB=λ向量PA+μ向量PB， 即，（m-λ）向量PA+(n-μ)向量PB=0， ∵三点P、A、B不共线，∴向量PA 与 向量PB 不共线， 由 推论3 知，m=λ，n=μ. 证毕. 推论6 如果三点P、A、B不共线，那么点C在直线AB上的充要条件是：存在不全为零的实数λ、μ、ν，使得 λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0. 证明： 1）充分性，由推论5 知，若三点P、A、B不共线，则 点C在直线AB上 存在实数λ、μ，使得 向量PC=λ向量PA+μ向量PB（其中，λ+μ=1）. 取ν=-1，则有：λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0，且实数λ、μ、ν不全为零. 2）必要性，不妨设ν≠0，且有：λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0，则 向量PC=（λ/ν）·向量PA+（μ/ν）·向量PB，（-λ/ν）+（-μ/ν）=1.由推论5 即知，点C在直线AB上. 证毕. 推论7 点P是直线AB外任意一点，那么三不同点A、B、C共线的充要条件是：存在全不为零的实数λ、μ、ν，使得 λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0，λ+μ+ν=0. 证明：（反证法） ∵点P是直线AB外任意一点，∴向量PA≠0，向量PB≠0，向量PC≠0，且 向量PA、向量PB、向量PC两两不共线. 由推论6 知，实数λ、μ、ν不全为零， 1）假设实数λ、μ、ν中有两个为零，不妨设λ≠0，μ=0，ν=0.则 λ向量PA=0，∴向量PA=0.这与向量PA≠0. 2）假设实数λ、μ、ν中有一个为零，不妨设λ≠0，μ≠0，ν=0.则 λ向量PA+μ向量PB=0，∴向量PA=（μ/λ）·向量PB，∴向量PA 与 向量PB共线，这与向量PA 与 向量PB不共线矛盾. 证毕.[编辑本段]共线向量定理 定理1 ⊿ABC中，点D在直线BC上的充要条件是 其中 都是其对应向量的数量. 证明：有推论5 即可证得. 定理2 ⊿ABC中，点D在直线BC上的充要条件是 其中 都是有向面积.通常约定，顶点按逆时针方向排列的三角形面积为正，顶点按顺时针方向排列的三角形面积为负. 证明：由定理1 即可得证.。
