高中数学中复数的知识

1.高考数学中复数的几种常见题型

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复数的几种常见题型

山东 史纪卿 鲁彩凌

一、利用复数的代数形式

由复数的代数形式为 知，用代入法解题是最基本且常用的方法.

( )z x yi x y  R,

例 1 已知 ， 且 ，若 ，则 的最大值是（ ）

1

z

2

zC

11z

1 2 2z z i 

1 2

z z

A.6B.5C.4D.3

解析：设 ， ，那么 .

1

z x yi 

2

z x mi  

2 2 1x y 

, , ,

1 1x≤≤

1 1y≤≤

2y m 

.

2 2 2 2 2 2

1 2 (2 ) ( ) 4 ( 2 ) 4( ) 4 8 8 8z z x y m x y y x y y y             

时， ，故选C.

1 1y∵≤≤

1y ∴

1 2 max 4z z 

二、利用复数相等的充要条件

在复数集 中，任意取两个数 ， ，

 

a bi a b  C R,|

a bi

( )c di a b c d R,,,

且 .

a bi c di a c    

b d

例 2 已知复数 ，求实数 使 .

1z i 

a b,

2

2 ( 2 )az bz a z  

解： ，

1z i ∵

,

2 ( 2 ) ( 2 )az bz a b a b i    ∴

.

2 2 2

( 2 ) ( 2) 4 4( 2) ( 4 ) 4( 2)a z a a i a a a i         

因为 都是实数，所以由 ，得

a b,

2

2 ( 2 )az bz a z  

2

2 4

2 4( 2)

a b a a

a b a

  

  



,

,

两式相加，整理得 .

26 8 0a a  

解得 ， ，

12a 

24a 

对应得 ， .

11b 

22b

所以，所求实数为 ， 或 ， .

2a 

1b 

4a 

2b

三、利用复数除法法则以及虚数 ， 的运算性质

i



1.形如 ，可以乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”；

a bi

c di





2.熟记一些常用的结果：

2.高考数学中复数的几种常见题型

中国现代教育网 全国最大教师交流平台复数的几种常见题型山东 史纪卿 鲁彩凌一、利用复数的代数形式 由复数的代数形式为 知，用代入法解题是最基本且常用的方法.（ ）z x yi x y  R， 例 1 已知 ， 且 ，若 ，则 的最大值是（ ）1z2zC11z1 2 2z z i 1 2z z A.6B.5C.4D.3 解析：设 ， ，那么 .1z x yi 2z x mi  2 2 1x y  ， ， ，1 1x≤≤1 1y≤≤2y m  .2 2 2 2 2 21 2 (2 ) ( ) 4 ( 2 ) 4( ) 4 8 8 8z z x y m x y y x y y y              ， 时， ，故选C.1 1y∵≤≤1y ∴1 2 max 4z z  二、利用复数相等的充要条件 在复数集 中，任意取两个数 ， ， a bi a b  C R,|a bi（ ）c di a b c d R，，，，且 .a bi c di a c    b d 例 2 已知复数 ，求实数 使 .1z i a b,22 ( 2 )az bz a z   解： ，1z i ∵ ，2 ( 2 ) ( 2 )az bz a b a b i    ∴ .2 2 2( 2 ) ( 2) 4 4( 2) ( 4 ) 4( 2)a z a a i a a a i          因为 都是实数，所以由 ，得a b,22 ( 2 )az bz a z  22 42 4( 2)a b a aa b a    ，， 两式相加，整理得 .26 8 0a a   解得 ， ，12a 24a  对应得 ， .11b 22b 所以，所求实数为 ， 或 ， .2a 1b 4a 2b 三、利用复数除法法则以及虚数 ， 的运算性质i 1.形如 ，可以乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”；a bic di 2.熟记一些常用的结果：。