1.“哥尼斯堡七桥问题”的详细内容
18世纪德国哥德堡有一条河，河中有两个岛，两岸于两岛间架有七座桥。问题是：一个人怎样走才可以不重复的走遍七座桥而回到原地。
这个问题好像与数学关系不大，它是几何问题，但不是关于长度、角度的欧氏几何。很多人都失败了，欧拉以敏锐的数学家眼光，猜想这个问题可能无解（这是合情推理）。然后他以高度的抽象能力，把问题变成了一个“一笔画”问题，能否从一个点出发不离开纸面地画出所有的连线，使笔仍回到原来出发的地方。
以下开始演绎分析，一笔画的要求使得图形有这样的特征：除起点与终点外，一笔画问题中线路的交岔点处，有一条线进就一定有一条线出，故在交岔点处汇合的曲线必为偶数条。七桥问题中，有四个交叉点处都交汇了奇数条曲线，故此问题不可解。欧拉还进一步证明了：一个连通的无向图，具有通过这个图中的每一条边一次且仅一次的路，当且仅当它的奇数次顶点的个数为0或为2。这是他为数学的一个新分枝――图论所作的奠基性工作，后人称此为欧拉定理。
2.如何看待哥尼斯堡七桥问题
18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡，那里有七座桥。
如图1所示：河中的小岛A与河的左岸B、右岸C各有两座桥相连结，河中两支流间的陆地D与A、B、C各有一座桥相连结。当时哥尼斯堡的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题………… 欧拉在1727年20岁的时候，被俄国请去在圣彼得堡（原列宁格勒）的科学院做研究。
差不多在这个时候，他的德国朋友告诉他一个曾经令许多人困惑的问题。 ， 这城现被苏联占领，就像老沙皇把从中国占领的土地改名一样，这城现被改称为卡里林格勒（Kaliningrad）。
有一条河横贯市内，河中心有二个小岛。在当时有七座桥把这小岛和对岸联结起来。
（见图四） 在周末当地的市民喜欢在城里溜达，有人曾想法子从家里出发，走过所有的桥回到家里，他们想是否能有座桥只走过一次。许多人试过都不成功。
现在是否有一个方法能走过？ 欧拉的朋友知道这个青年人很聪明，并且喜欢思考问题，就告诉他这个“哥尼斯堡七桥问题”，要他想法子解决。 读者最好先在图四上“纸上漫步”，看看能不能走出一个法子来。
如果行不通，那么就继续下去。 欧拉并没有跑到哥尼斯堡去走走。
他把这个问题化成了这样的问题来看：把二岸和小岛缩成一点，桥化为边，二个顶点有边联结，当且仅当（if and only if）这点代表的地区有桥联结起来。这样欧拉就得到了一个图了。
欧拉如何解决“七桥问题” 欧拉现在考虑这个图是否能一笔画成，如果能够的话，对应的“七桥问题”也就解决了。 他先研究一般能一笔画成的图应该具有什么性质？他发现它们大体上有二类，不是全都是偶点就是有二个奇点。
这个情形是可以这样的看：如果一个图能一笔画成，那么一定有一个起点开始画，也有一个终点。其他图上的点是“过路点”——我们要经过它。
现在看“过路点”会有什么性质？它是“能上能下，有进有出”的点，有一条边进这点，那么就要有一条边出去，不可能是有进无出，它就会变成终点，也不可能有出无进，它就会变成起点。因此在“过路点”进出的边总数应该是偶数，即“过路点”是偶点。
如果起点和终点是同一点，那么它也是属于“有进有出”的类型，因此必须是偶点，这样图上全体的点是偶点。 如果起点和终点是不一样，那么它们必须是奇点了。
因此这图最多只能有二个奇点。 现在对应七桥问题的图，所有的顶点都是奇点，共有四个，故这个图肯定不能一笔画成。
以上说明的方法不完全和欧拉把这个结果在1736年的圣彼得堡科学院学报上发表的一样。我是取其精神，自己改编成较通俗的讲法，希望读者能较容易的明白这个道理。
欧拉很喜欢这个结果，他在以后的几个通俗数学演讲，时常以此为话题。 我们今天学习欧拉的成果不应是单纯把它当作数学游戏，重要的是应该知道他怎样把一个实际问题抽象化。
研究数学问题不应该为“抽象而抽象”，抽象的目的是为了更有效的解决实际产生的问题，欧拉的大作就成为我们学习的一个样板。 事实上，中国民间很早就流传这种一笔画的游戏，从长期实践的经验，人们知道如果图的点全部是偶点，可以任意选取一点做起点，一笔画完。
如果是有二个奇点，那么就选择一个奇点做起点以顺利的一笔画完。可惜的是古时的一些从事数学研究的儒生，受到“万般皆下品，唯有读书高”的思想毒害，对于民间的游戏当作“下里巴人的雕虫小技”不加以重视。
如果那时中国的数学家把这一笔画书的经验总结，以及加以研究，可能“图论”的开山祖师将不是欧拉了。
3.【七桥问题答案示意图】
七桥问题Seven Bridges Problem著名古典数学问题之一.在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来（如图）.问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点？欧勒于1736年研究并解决了此问题，他把问题归结为如下右图的“一笔画”问题，证明上述走法是不可能的.有关图论研究的热点问题.18世纪初普鲁士的柯尼斯堡，普雷格尔河流经此镇，奈发夫岛位于河中，共有7座桥横跨河上，把全镇连接起来.当地居民热衷于一个难题：是否存在一条路线，可不重复地走遍七座桥.这就是柯尼斯堡七桥问题.L.欧拉用点表示岛和陆地，两点之间的连线表示连接它们的桥，将河流、小岛和桥简化为一个网络，把七桥问题化成判断连通网络能否一笔画的问题.他不仅解决了此问题，且给出了连通网络可一笔画的充要条件是它们是连通的，且奇顶点（通过此点弧的条数是奇数）的个数为0或2.当Euler在1736年访问Konigsberg,Prussia(now Kaliningrad Russia)时，他发现当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动.Konigsberg城中有一条名叫Pregel的河流横经其中，这项有趣的消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点.Euler把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示.后来推论出此种走法是不可能的.他的论点是这样的，除了起点以外，每一次当一个人由一座桥进入一块陆地（或点）时，他（或她）同时也由另一座桥离开此点.所以每行经一点时，计算两座桥（或线），从起点离开的线与最后回到始点的线亦计算两座桥，因此每一个陆地与其他陆地连接的桥数必为偶数.七桥所成之图形中，没有一点含有偶数条数，因此上述的任务无法完成.欧拉的这个考虑非常重要，也非常巧妙，它正表明了数学家处理实际问题的独特之处——把一个实际问题抽象成合适的“数学模型”.这种研究方法就是“数学模型方法”.这并不需要运用多么深奥的理论，但想到这一点，却是解决难题的关键.接下来，欧拉运用网络中的一笔画定理为判断准则，很快地就判断出要一次不重复走遍哥尼斯堡的7座桥是不可能的.也就是说，多少年来，人们费脑费力寻找的那种不重复的路线，根本就不存在.一个曾难住了那么多人的问题，竟是这么一个出人意料的答案！1736年，欧拉在交给彼得堡科学院的《哥尼斯堡7座桥》的论文报告中，阐述了他的解题方法.他的巧解，为后来的数学新分支——拓扑学的建立奠定了基础.七桥问题和欧拉定理.欧拉通过对七桥问题的研究，不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题，而且得到并证明了更为广泛的有关一笔画的三条结论，人们通常称之为欧拉定理.对于一个连通图，通常把从某结点出发一笔画成所经过的路线叫做欧拉路.人们又通常把一笔画成回到出发点的欧拉路叫做欧拉回路.具有欧拉回路的图叫做欧拉图.此题被人教版小学数学第十二册书收录.在95页.。
4.有谁知道歌德斯堡七桥问题的详细内容
18世纪，东普鲁士的首府哥尼斯堡是一座景色迷人的城市，普莱格尔河横贯城区，使这
座城市锦上添花，显得更加风光旖旋。这条河有两条支流，在城中心汇成大河，在河的
中央有一座美丽的小岛。河上有七座各具特色的桥把岛和河岸连接起来。
每到傍晚，许多人都来此散步。人们漫步于这七座桥之间，久而久之，就形成了这样一
个问题：能不能既不重复又不遗漏地一次相继走遍这七座桥？这就是闻名遐迩的“哥尼
斯堡七桥问题。”每一个到此游玩或散心的人都想试一试，可是，对于这一看似简单的
问题，没有一个人能符合要求地从七座桥上走一遍。这个问题后来竟变得神乎其神，说
是有一支队伍，奉命要炸毁这七座桥，并且命令要他们按照七桥问题的要求去炸。
七桥问题也困绕着哥尼斯堡大学的学生们，在屡遭失败之后，他们给当时著名数学家欧
拉写了一封信，请他帮助解决这个问题。
欧拉看完信后，对这个问题也产生了浓厚的兴趣。他想，既然岛和半岛是桥梁的连接地
点，两岸陆地也是桥梁的连接地点，那就不妨把这四处地方缩小成四个点，并且把这七
座桥表示成七条线。这样，原来的七桥问题就抽象概括成了如下的关系图：
这显然并没有改变问题的本质特征。于是，七桥问题也就变成了一个一笔画的问题，即
：能否笔不离纸，不重复地一笔画完整个图形。这竟然与孩子们的一笔画游戏联系起来
了。接着，欧拉就对“一笔画”问题进行了数学分析一笔画有起点和终点，起点和终点
重合的图形称为封闭图形，否则便称为开放图形。除起点和终点外，一笔画中间可能出
现一些曲线的交点。欧拉注意到，只有当笔沿着一条弧线到达交点后，又能沿着另一条
弧线离开，也就是交汇于这些点的弧线成双成对时，一笔画才能完成，这样的交点就称
为“偶点”。如果交汇于这些点的弧线不是成双成对，也就是有奇数条，则一笔画就不
能实现，这样的点又叫做“奇点”。见下图：
欧拉通过分析，得到了下面的结论：若是一个一笔画图形，要么只有两个奇点，也就是
仅有起点和终点，这样一笔画成的图形是开放的；要么没有奇点，也就是终点和起点连
接起来，这样一笔画成的图形是封闭的。由于七桥问题有四个奇点，所以要找到一条经
过七座桥，但每座桥只走一次的路线是不可能的。
有名的“哥尼斯堡七桥问题”就这样被欧拉解决了。
在这里，我们可以看到欧拉解决这个问题的关键就是把“七桥问题”变成了一个“一笔
画”问题，那么，欧拉又是怎样完成这一转变的呢？
他把岛、半岛和陆地的具体属性舍去，而仅仅留下与问题有关的东西，这就是四个几何
上的“点”；他再把桥的具体属性排除，仅留下一条几何上的“线”，然后，把“点”
与“线”结合起来，这样就实现了从客观事物到图形的转变。我们把得到“点”和“线
”的思维方法叫做抽象，把由“点”和“线”结合成图形的思维方法叫做概括。所谓抽
象就是从客观事物中排除非本质属性，透过现象抽出本质属性的思维方法。概括就是将
个别事物的本质属性结合起来的思维方法。
5.”哥尼斯堡七桥问题”的解决,与后来数学的哪个分支有关
“哥尼斯堡七桥问题”的解决，与后来数学的图论与几何拓扑有关。
1736年29岁的欧拉向圣彼得堡科学院递交了《哥尼斯堡的七座桥》的论文，在解答问题的同时，开创了数学的一个新的分支——图论与几何拓扑，也由此展开了数学史上的新历程。七桥问题提出后，很多人对此很感兴趣，纷纷进行试验，但在相当长的时间里，始终未能解决。欧拉通过对七桥问题的研究，不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题，而且得到并证明了更为广泛的有关一笔画的三条结论，人们通常称之为“欧拉定理F”。
6.七桥问题
七桥问题Seven Bridges Problem 18世纪著名古典数学问题之一。
在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来（如图）。问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点？欧拉于1736年研究并解决了此问题，他把问题归结为如下右图的“一笔画”问题，证明上述走法是不可能的。
有关图论研究的热点问题。18世纪初普鲁士的哥尼斯堡，有一条河穿过，河上有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸联系起来（如左图上）。
有个人提出一个问题：一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥，最后回到出发点后来大数学家欧拉把它转化成一个几何问题（如左图下）——一笔画问题。他不仅解决了此问题，且给出了连通图可以一笔画的重要条件是它们是连通的，且奇顶点（通过此点弧的条数是奇数）的个数为0或2.编辑本段推断方法 当Euler在1736年访问Konigsberg, Prussia(now Kaliningrad Russia)时，他发现当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。
Konigsberg城中有一条名叫Pregel的河流横经其中，这项有趣的消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点。 Euler把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示 著名数学家欧拉。
后来推论出此种走法是不可能的。他的论点是这样的，除了起点以外，每一次当一个人由一座桥进入一块陆地（或点）时，他（或她）同时也由另一座桥离开此点。
所以每行经一点时，计算两座桥（或线），从起点离开的线与最后回到始点的线亦计算两座桥，因此每一个陆地与其他陆地连接的桥数必为偶数。 七桥所成之图形中，没有一点含有偶数条数，因此上述的任务无法完成. 欧拉的这个考虑非常重要，也非常巧妙，它正表明了数学家处理实际问题的独特之处——把一个实际问题抽象成合适的“数学模型”。
这种研究方法就是“数学模型方法”。这并不需要运用多么深奥的理论，但想到这一点，却是解决难题的关键。
接下来，欧拉运用图中的一笔画定理为判断准则，很快地就判断出要一次不重复走遍哥尼斯堡的7座桥是不可能的。也就是说，多少年来，人们费脑费力寻找的那种不重复的路线，根本就不存在。
一个曾难住了那么多人的问题，竟是这么一个出人意料的答案！ 编辑本段最终成果 问题提出后，很多人对此很感兴趣，纷纷进行试验，但在相当长的时间里，始终未能解决。而利用普通数学知识，每座桥均走一次，那这七座桥所有的走法一共有5040种，而这么多情况，要一一试验，这将会是很大的工作量。
但怎么才能找到成功走过每座桥而不重复的路线呢？因而形成了著名的“哥尼斯堡七桥问题”。 1735年，有几名大学生写信给当时正在俄罗斯的彼得斯堡科学院任职的天才数学家欧拉，请他帮忙解决这一问题。
欧拉在亲自观察了哥尼斯堡七桥后，认真思考走法，但始终没能成功，于是他怀疑七桥问题是不是原本就无解呢？ 1736年，在经过一年的研究之后，29岁的欧拉提交了《哥尼斯堡七桥》的论文，圆满解决了这一问题，同时开创了数学新一分支—图论。 在论文中，欧拉将七桥问题抽象出来，把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示。
并由此得到了如图一样的几何图形。 若我们分别用A、B、C、D四个点表示为哥尼斯堡的四个区域。
这样著名的“七桥问题”便转化为是否能够用一笔不重复的画出过此七条线的问题了。若可以画出来，则图形中必有终点和起点，并且起点和终点应该是同一点，由于对称性可知由A或C为起点得到的效果是一样的，若假设以A为起点和终点，则必有一离开线和对应的进入线，若我们定义进入A的线的条数为入度，离开线的条数为出度，与A有关的线的条数为A的度，则A的出度和入度是相等的，即A的度应该为偶数。
即要使得从A出发有解则A的度数应该为偶数，而实际上A的度数是3为奇数，于是可知从A出发是无解的。同时若从B或D出发，由于B、D的度数分别是5、3，都是奇数，即以之为起点都是无解的。
有上述理由可知，对于所抽象出的数学问题是无解的，即“七桥问题”也是无解的。 由此我们得到：欧拉回路关系 由此我们可知要使得一个图形可以一笔画，必须满足如下两个条件： 1. 图形必须是连通的。
2. 途中的“奇点”个数是0或2。 我们也可以依此来检验图形是不是可一笔画出。
回头也可以由此来判断“七桥问题”，4个点全是奇点，可知图不能“一笔画出”，也就是不存在不重复地通过所有七桥。 欧拉的这个考虑非常重要，也非常巧妙，它正表明了数学家处理实际问题的独特之处——把一个实际问题抽象成合适的“数学模型”。
这种研究方法就是“数学模型方法”。这并不需要运用多么深奥的理论，但想到这一点，却是解决难题的关键。
七桥问题 1736年，欧拉在交给彼得堡科学院的《哥尼斯堡7座桥》的论文 加里宁格勒地理报 告中，阐述了他的解题方法。他的巧解，为后来的数学新分支——拓扑学的建立奠定了基础。
七桥问题和欧拉定理。欧拉通过对七桥问题的研究，不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题，而。
7.格尼斯堡七桥问题的详细解法
18世纪，东普鲁士的首府哥尼斯堡是一座景色迷人的城市，普莱格尔河横贯城区，使这
座城市锦上添花，显得更加风光旖旋。这条河有两条支流，在城中心汇成大河，在河的
中央有一座美丽的小岛。河上有七座各具特色的桥把岛和河岸连接起来。
每到傍晚，许多人都来此散步。人们漫步于这七座桥之间，久而久之，就形成了这样一
个问题：能不能既不重复又不遗漏地一次相继走遍这七座桥？这就是闻名遐迩的“哥尼
斯堡七桥问题。”每一个到此游玩或散心的人都想试一试，可是，对于这一看似简单的
问题，没有一个人能符合要求地从七座桥上走一遍。这个问题后来竟变得神乎其神，说
是有一支队伍，奉命要炸毁这七座桥，并且命令要他们按照七桥问题的要求去炸。
七桥问题也困扰着哥尼斯堡大学的学生们，在屡遭失败之后，他们给当时著名数学家欧
拉写了一封信，请他帮助解决这个问题。
欧拉看完信后，对这个问题也产生了浓厚的兴趣。他想，既然岛和半岛是桥梁的连接地
点，两岸陆地也是桥梁的连接地点，那就不妨把这四处地方缩小成四个点，并且把这七
座桥表示成七条线。这样，原来的七桥问题就抽象概括成了如下的关系图：
这显然并没有改变问题的本质特征。于是，七桥问题也就变成了一个一笔画的问题，即
：能否笔不离纸，不重复地一笔画完整个图形。这竟然与孩子们的一笔画游戏联系起来
了。接着，欧拉就对“一笔画”问题进行了数学分析一笔画有起点和终点，起点和终点
重合的图形称为封闭图形，否则便称为开放图形。除起点和终点外，一笔画中间可能出
现一些曲线的交点。欧拉注意到，只有当笔沿着一条弧线到达交点后，又能沿着另一条
弧线离开，也就是交汇于这些点的弧线成双成对时，一笔画才能完成，这样的交点就称
为“偶点”。如果交汇于这些点的弧线不是成双成对，也就是有奇数条，则一笔画就不
能实现，这样的点又叫做“奇点”。见下图：
欧拉通过分析，得到了下面的结论：若是一个一笔画图形，要么只有两个奇点，也就是
仅有起点和终点，这样一笔画成的图形是开放的；要么没有奇点，也就是终点和起点连
接起来，这样一笔画成的图形是封闭的。由于七桥问题有四个奇点，所以要找到一条经
过七座桥，但每座桥只走一次的路线是不可能的。
有名的“哥尼斯堡七桥问题”就这样被欧拉解决了。
在这里，我们可以看到欧拉解决这个问题的关键就是把“七桥问题”变成了一个“一笔
画”问题，那么，欧拉又是怎样完成这一转变的呢？
他把岛、半岛和陆地的具体属性舍去，而仅仅留下与问题有关的东西，这就是四个几何
上的“点”；他再把桥的具体属性排除，仅留下一条几何上的“线”，然后，把“点”
与“线”结合起来，这样就实现了从客观事物到图形的转变。我们把得到“点”和“线
”的思维方法叫做抽象，把由“点”和“线”结合成图形的思维方法叫做概括。所谓抽
象就是从客观事物中排除非本质属性，透过现象抽出本质属性的思维方法。概括就是将
个别事物的本质属性结合起来的思维方法。
Euler在1736年访问Konigsberg, Prussia(now Kaliningrad Russia)时，他发现当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。Konigsberg城中有一条名叫Pregel的河流横经其中，在河上建有七座桥如图所示： 这项有趣的消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点。
Euler把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示，便得如下的图后来推论出此种走法是不可能的。他的论点是这样的，除了起点以外，每一次当一个人由一座桥进入一块陆地（或点）时，他（或她）同时也由另一座桥离开此点。所以每行经一点时，计算两座桥（或线），从起点离开的线与最后回到始点的线亦计算两座桥，因此每一个陆地与其他陆地连接的桥数必为偶数。
七桥所成之图形中，没有一点含有偶数条数，因此上述的任务是不可能实现的。
