1.实对称矩阵
一般来讲都不唯一，但是都或多或少地有一定程度的唯一性
对角阵的不唯一性主要来自于对角元的次序
最简单的例子，A=diag(0,1)，相应的对角阵可以是A本身，也可以是diag(1,0)
对角阵由特征值决定，特征值的集合是确定的，但是次序不确定，在规定一个次序的情况下可以得到唯一性
正交阵的列是相应的单位特征向量，单位特征向量本身也没有唯一性，比如v是特征向量的情况下-v也一定是特征向量，对于单特征值来讲每一列就这么两种选择
除此之外更大的问题来自重特征值，重特征值的特征向量完全没有唯一性，因为可以取整个特征子空间的任何标准正交基，最简单的例子是A=I，任何正交阵都可以把A对角化
2.实对称矩阵的性质
原发布者：爱田田183
目录摘要1关键词1Abstract1Keywords1前言11.对称矩阵的基本性质21.1对称矩阵的定义21.2对称矩阵的基本性质及简单证明……………………………………………32.对称矩阵的对角化42.1对称矩阵可对角化的相关理论证明42.2对称矩阵对角化的具体方法及应用举例53.对称矩阵的正定性73.1正定矩阵的定义73.2对称矩阵正定性的判别84.应用举例11总结12参考文献12对称矩阵的性质及应用摘要：本文主要描述对称矩阵的定义，研究对称矩阵的性质及应用.包括对称矩阵的基本性质，对称矩阵的对角化，对称矩阵的正定性以及对称矩阵在二次型，线性变换和欧式空间问题中的应用等.关键词：对称矩阵；对角化；正定性；应用:,,,,.Keywords:symmetrymatrix;diagonalization;positivedefiniteness;application前言矩阵是高等数学中一个极其重要的应用广泛的概念，如线性方程组的一些重要性质反映在它
3.什么叫实对称矩阵,请画图举一例
如果有n阶矩阵A，其各个元素都为实数，矩阵A的转置等于其本身（AT = A） ，则称A为实对称矩阵。
如果有n阶矩阵A，其各个元素都为实数，且aij=aji i,j=1,2,。,n（即这里T表示转置），则称A为实对称矩阵。
主要性质：
1.实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。
2.实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。
3.n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。
4.若λ0具有k重特征值 必有k个线性无关的特征向量，或者说必有秩r（λ0E-A）=n-k，其中E为单位矩阵。
4.A和B都是n阶实对称矩阵,则A与B合同的充分必要条件是（）A.R(A)=
①选项A.由A与B合同，知存在可逆矩阵C，使得CTAC=B，因此R(A)=R(CTAC)=R(B)，但反之，不成立，故A错误；②选项B.由于A与B相似，则存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B；而A与B合同，是指存在可逆矩阵C，使得CTAC=B,P与C、P-1与CT不一定相等，故B错误；③选项C.由于对称矩阵合同的充分必要条件就是正负惯性指数相同，也就是正负特征值的个数相同，因此C正确；④选项D.tr(A)=tr(B)只能说明两个矩阵的迹相同，即特征值之和相同，这与两个矩阵合同毫无关系.故选：C.。
