1.空间解析几何学科
解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何，为了把代数运算引到几何中来，最根本的做法就是设法把空间的几何结构有系统的代数化、数量化。
本课程首先在空间引进矢量，以及它的运算，并且通过矢量来建立坐标系。利用矢量，可使得几何问题的解决转化为矢量代数的运算。
在此基础上，进一步建立作为点的轨迹的曲线、曲面与其方程之间的联系，把研究曲线与曲面的几何问题，归结为研究其方程的代数问题，从而用代数的方法对一些常见曲线与曲面进行研究。最后讨论一般二次曲线的代数理论，使得二次曲线的几何理论与代数理论紧密联系在一起，使得一般二次曲线方程的化简、作图、分类都比较简捷地一起完成了。
本课程是数学专业的基础课程，可以说是其他数学专业课程的基础。
2.几何知识的背景知识
平面几何：最早的几何学当属平面几何。平面几何就是研究平面上的直线和二次曲线（即圆锥曲线，就是椭圆、双曲线和抛物线）的几何结构和度量性质（面积、长度、角度）。平面几何采用了公理化方法，在数学思想史上具有重要的意义。
平面几何的内容也很自然地过渡到了三维空间的立体几何。为了计算体积和面积问题，人们实际上已经开始涉及微积分的最初概念。
笛卡尔引进坐标系后，代数与几何的关系变得明朗， 且日益紧密起来。这就促使了解析几何的产生。解析几何是由笛卡尔、费马分别独立创建的。这又是一次具有里程碑意义的事件。从解析几何的观点出发，几何图形的性质可以归结为方程的分析性质和代数性质。几何图形的分类问题（比如把圆锥曲线分为三类），也就转化为方程的代数特征分类的问题，即寻找代数不变量的问题。
立体几何归结为三维空间解析几何的研究范畴，从而研究二次曲面（如球面，椭球面、锥面、双曲面，鞍面）的几何分类问题，就归结为研究代数学中二次型的不变量问题。
总体上说，上述的几何都是在欧氏空间的几何结构–即平坦的空间结构–背景下考察，而没有真正关注弯曲空间 下的几何结构。欧几里得几何公理本质上是描述平坦空间的几何特性，特别是第五公设引起了人们对其正确性的疑虑。由此人们开始关注其弯曲空间的几何， 即“非欧几何 ”。非欧几何中包括了最经典几类几何学课题， 比如“球面几何”，“罗氏几何 ”等等。另一方面，为了把无穷远的那些虚无缥缈的点也引入到观察范围内， 人们开始考虑射影几何。
这些早期的非欧几何学总的来说，是研究非度量的性质，即和度量关系不大，而只关注几何对象的位置问题–比如平行、相交等等。 这几类几何学所研究的空间背景都是弯曲的空间。
3.【空间解析几何的小问题点M(1.
直线L :(X-1)/3 = (Y-5)/3 = (Z-3)/2 的1个方向向量T = {3,3,2}过点M，以T为法向量的平面Q的平面方程为3(X-1) + 3(Y+1) + 2(Z-1) = 0.因，点（1 + 3t,5 + 3t,3 + 2t）在直线L上，将X = 1 + 3t,Y = 5 + 3t,Z = 3 + 2t代入平面Q的方程，0 = 3(1 + 3t – 1) + 3(5 + 3t + 1) + 2(3 + 2t – 1)= 9t + 18 + 9t + 4 + 4t= 22t + 22,t = -1，得直线L与平面Q的交点坐标，（1 – 3,5 – 3,3 – 2） = (-2,2,1)设点M关于直线L的对称点的坐标为（A,B,C）则点（-2,2,1）是点M和点（A,B,C）的中点，A + 1 = 2(-2),A = -5 B – 1 = 2(2),B = -5C – 1 = 2(1),C = -3.所以，点（-5,-5,-3）就是点M关于直线L的对称点.———————–点A(u,-u,v)是平面 X + Y = 0上的任一点.直线L :(X-1)/3 = (Y-5)/3 = (Z-3)/2 的1个方向向量T = {3,3,2}过点A，以T为法向量的平面Q的平面方程为3(X-u) + 3(Y+u) + 2(Z-v) = 0.因，点（1 + 3t,5 + 3t,3 + 2t）在直线L上，将X = 1 + 3t,Y = 5 + 3t,Z = 3 + 2t代入平面Q的方程，0 = 3(1 + 3t – u) + 3(5 + 3t + u) + 2(3 + 2t – v)= 9t + 3(1-u) + 3(5+u) + 9t + 2(3-v) + 4t= 22t + 24 – 2v,t = (v – 12)/11，得直线L与平面Q的交点B的坐标，（1 + 3(v-12)/11,5 + 3(v-12)/11,3 + 2(v-12)/11） 设点A关于直线L的对称点的坐标为（X,Y,Z）则点B是点M和点（X,Y,Z）的中点，（X,Y,Z） = 2B – A = [2 + 6(v-12)/11 – u,10 + 6(v-12)/11 + u,6 + 4(v-12)/11 – v]= [2 + 6(v-12)/11 – u,10 + 6(v-12)/11 + u,12 – v + 4(v-12)/11 – 6]= [2 + 6(v-12)/11 – u,10 + 6(v-12)/11 + u,-7(v-12)/11 – 6]X = 2 – u + 6(v-12)/11,Y = 10 + u + 6(v-12)/11,Z = -6 – 7(v-12)/11u = (Y-X-8)/2,(v-12)/11 = (X + Y – 12)/12 = [-6-Z]/7,7(X+Y-12)+12(Z+6) = 0,7X + 7Y + 12Z – 12 = 0就是平面X+Y=0关于直线L的对称平面.。
