1.有关二次函数的知识点
二次函数知识点一、二次函数概念：1.二次函数的概念：一般地，形如 （ 是常数， ）的函数，叫做二次函数. 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 ，而 可以为零.二次函数的定义域是全体实数.2. 二次函数 的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 的二次式， 的最高次数是2.⑵ 是常数， 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项.二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式： 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上 轴 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 .向下 轴 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 .2. 的性质：上加下减. 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上 轴 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 .向下 轴 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 .3. 的性质：左加右减. 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上 X=h 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 .向下 X=h 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 .4. 的性质： 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上 X=h 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 .向下 X=h 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 .三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；⑵ 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”.概括成八个字“左加右减，上加下减”. 方法二：⑴ 沿 轴平移：向上（下）平移 个单位， 变成 （或 ）⑵ 沿轴平移：向左（右）平移 个单位， 变成 （或 ）四、二次函数 与 的比较从解析式上看， 与 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即 ，其中 .五、二次函数 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数 化为顶点式 ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 轴的交点 、以及 关于对称轴对称的点 、与 轴的交点 ， （若与 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 轴的交点，与 轴的交点.六、二次函数 的性质 1. 当 时，抛物线开口向上，对称轴为 ，顶点坐标为 .当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大；当 时， 有最小值 . 2. 当 时，抛物线开口向下，对称轴为 ，顶点坐标为 .当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小；当 时， 有最大值 .七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式： （ ， ， 为常数， ）；2. 顶点式： （ ， ， 为常数， ）；3. 两根式： （ ， ， 是抛物线与 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数 二次函数 中， 作为二次项系数，显然 . ⑴ 当 时，抛物线开口向上， 的值越大，开口越小，反之 的值越小，开口越大； ⑵ 当 时，抛物线开口向下， 的值越小，开口越小，反之 的值越大，开口越大.总结起来， 决定了抛物线开口的大小和方向， 的正负决定开口方向， 的大小决定开口的大小.2. 一次项系数 在二次项系数 确定的前提下， 决定了抛物线的对称轴. ⑴ 在 的前提下，当 时， ，即抛物线的对称轴在 轴左侧；当 时， ，即抛物线的对称轴就是 轴；当 时， ，即抛物线对称轴在 轴的右侧.⑵ 在 的前提下，结论刚好与上述相反，即当 时， ，即抛物线的对称轴在 轴右侧；当 时， ，即抛物线的对称轴就是 轴；当 时， ，即抛物线对称轴在 轴的左侧.总结起来，在 确定的前提下， 决定了抛物线对称轴的位置. 的符号的判定：对称轴 在 轴左边则 ，在 轴的右侧则 ，概括的说就是“左同右异”总结： 3. 常数项 ⑴ 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴上方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当 时，抛物线与 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 轴交点的纵坐标为 ； ⑶ 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴下方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为负. 总结起来， 决定了抛物线与 轴交点的位置. 总之，只要 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于 轴对称 关于 轴对称后，得到的解析式是 ； 关于 轴对称后，。
2.关于二次函数的知识点
二次函数知识点总结大全一 二次函数知识点： 1.二次函数的概念：一般地，形如 （是常数，）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2. ⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项. 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：的性质： 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结： 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值. 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值.。
3.二次函数知识点
I.定义与定义表达式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，
a<0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.)
II.二次函数的三种表达式
一般式：y=ax^2;+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)
顶点式：y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点P(h,k)]
交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1,0)和 B(x2,0)的抛物线]
注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：
h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a
III.二次函数的图像
二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点P，坐标为P([ -b/2a ,(4ac-b^2;)/4a )。
当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时，抛物线向上开口；当a|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；
当a与b异号时（即ab5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0,c）
6.抛物线与x轴交点个数
Δ= b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ= b^2-4acV.二次函数与一元二次方程
特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2;+bx+c,
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），
即ax^2;+bx+c=0
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
画抛物线y=ax2时，应先列表，再描点，最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。
二次函数解析式的几种形式
(1)一般式：y=ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0).
(2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0).
(3)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，a≠0.
说明：（1）任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是（h,k）,h=0时，抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上；当k=0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h=0且k=0时，抛物线y=ax2的顶点在原点
如果图像经过原点，并且对称轴是y轴，则设y=ax^2；如果对称轴是y轴，但不过原点，则设y=ax^2+k
二次函数的三种表达式
①一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)
②顶点式[抛物线的顶点 P(h,k) ]:y=a(x-h)^2+k
③交点式[仅限于与x轴有交点 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线]：y=a(x-x1)(x-x2)
以上3种形式可进行如下转化：
①一般式和顶点式的关系
对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为（-b/2a,(4ac-b^2)/4a），即
h=-b/2a=(x1+x2)/2
k=(4ac-b^2)/4a
②一般式和交点式的关系
x1,x2=[-b±√（b^2-4ac）]/2a（即一元二次方程求根公式）
4.关于二次函数的所有知识
知道二次函数的意义。
自变量的取值范围及对所含系数的要求有哪些异同，在比较中掌握二次函数的定义。
图象的有关技巧（y=ax2的关键点是顶点及关于y轴的对称点）。
本节的重点是二次函数的概念，正确画出y=ax2的图象，初步掌握二次函数的性质。
函数的增减性是教学的难点。
函数y=ax2的图象是一条关于y轴对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
1. 会用描点法画出二次函数的图象。
2. 能利用图象或通过配方法确定抛物线的开口方向及对称轴、顶点的位置。
3. 会由已知图象上三个点的坐标求出二次函数的解析式。
对二次函数画图象，首先应了解二次函数的图象是抛物线，其关键点是它的顶点 抛物线与x轴有交点），然后依对称性，再参照y=ax2的图象，就可迅速画出原二次函数的图象。
在学习二次函数的性质时，应结合函数的图象，对比各种不同形式及相同形式但所含常数不同时的各种情况，归纳总结出一定的规律，从而更好地理解函数的性质。
在函数性质的教学中，应充分调动学生的积极性，引导他们从增减性、对称性、最值、截距几个方面去发现性质，然后再逐渐条理化。
学会函数知识的应用，从而加强技能的训练和能力的培养。
用描点法画二次函数的图象，用一般式来研究二次函数的性质，求二次函数的解析式，是本节的重点。
怎样移动便得到另一个图象；由二次函数的图象得出二次函数的性质，这是一个数形结合的问题，以上三个问题是本节中的难点。
1. 函数y=ax2的图象是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点是原点。当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方，在y轴的左右两侧同时向上无限延伸；当a<0的时候，抛物线y=ax2在x轴的下方，在y轴的左右两侧同时向下无限延伸。
2. 为了描点画出二次函数y=x2的图象，先要列出函数的对应值表，如何选取自变量x的值呢？不妨以零为中心，均匀选取一些便于计算的x值。
(1)提出二次项系数；
(2)在提出二次项系数以后的式子，配上一次项系数一半的平方，同时减去该平方；
(3)将提出的二次项系数乘回去。
3. 在本节的学习过程中，经常需要观察图象的特点以及不同图象之间的相互关系，这正是培养学生观察力、理解力的好机会，应启发学生各抒己见，展开讨论，以得出比较满意的结论。
5.二次函数完整的知识点
定义与定义表达式 我们把形如y=ax^2+bx+c（其中a,b,c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数（quadratic function），称a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
一般的，形如y=ax^2+bx+c(a≠0)的函数叫二次函数。自变量（通常为x）和因变量（通常为y）。
右边是整式，且自变量的最高次数是2。 注意，“变量”不同于“未知数”，不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”。
未知数只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），变量可在一定范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。
从函数的定义也可看出二者的差别。 二次函数的解法 二次函数的通式是 y= ax^2+bx+c如果知道三个点 将三个点的坐标带入也就是说三个方程解三个未知数 如题方程一8=a2+b2+c 化简 8=c 也就是说c就是函数与Y轴的交点。
方程二7=a*36+b*6+c 化简 7=36a+6b+c。 方程三7=a*(-6)2+b*(-6)+c化简 7=36a-6b+c。
解出a,b,c 就可以了 。 上边这种是老老实实的解法 。
对（6,7）(-6,7)这两个坐标 可以求出一个对称轴也就是X=0 。 通过对称轴公式x=-b/2a 也可以算 。
如果知道过x轴的两个坐标（y=0的两个坐标的值叫做这个方程的两个根）也可以用对称轴公式x=-b/2a算 。 或者使用韦达定理一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中 。
设两个根为X1和X2 则X1+X2= -b/a X1·X2=c/a 一般式 y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为（-b/2a,4ac-b^2;/4a） 顶点式 y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为（h,k）对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax^2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式 交点式 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点A(x1,0)和 B(x2,0)的抛物线，即b^2-4ac≥0] 由一般式变为交点式的步骤： 二次函数（16张） ∵X1+x2=-b/a x1·x2=c/a ∴y=ax^2+bx+c =a(x^2+b/ax+c/a) =a[﹙x2-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2) 重要概念：a,b,c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上；a0时， 函数图像与x轴有两个交点。
当△=b^2-4ac=0时，函数图像与x轴有一个交点。 当△=b^2-4ac0时，二次函数图像向上开口；当a0，与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a0，与b异号时（即ab0， 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号 可简单记忆为同左异右，即当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab0或a>0;k0,k>0时，二次函数图像与X轴无交点 _______ 当a>0时，函数在x=h处取得最小值ymix=k，在xh范围内是增函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向 上，函数的值域是y>k 当ah范围内事增函数，在 x0，则抛物线开口朝上；a0，图象与x轴交于两点： （[-b-√Δ]/2a,0）和（[-b+√Δ]/2a,0）； Δ=0，图象与x轴交于一点： （-b/2a,0）； Δ0 且X≧（X1+X2）/2时，Y随X的增大而增大，当a>0且X≦（X1+X2）/2时Y随X 的增大而减小 此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连 用）。
交点式是Y=A(X-X1)(X-X2) 知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。两交点X值就是相应X1 X2值。
两图像对称 对于一般式： ①y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c两图像关于y轴对称 ②y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c两图像关于x轴对称 ③y=ax2+bx+c与y=-ax2+bx+c-2b2|a|/4a2关于顶点对称 ④y=ax2+bx+c与y=-ax^2+bx-c关于原点对称。 对于顶点式： ①y=a(x-h)2+k与y=a(x+h)2+k两图像关于y轴对称 ②y=a(x-h)2+k与y=-a(x-h)2-k两图像关于x轴对称 ③y=a(x-h)2+k与y=-a(x-h)2+k关于顶点对称 ④y=a(x-h)2+k与y=-a(x-h)2-k关于原点对称。
（其实①③④就是对f(x)来说f(-x),-f(x),-f(-x)的情况） 编辑本段二次函数与一元二次方程 特别地，二次函数（以下称函数）y=ax²+bx+c， 当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程）， 即ax2+bx+c=0 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。 函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1.二次函数y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2+k,y=ax^2+bx+c（各式中，a≠0）的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表： 解析式 顶点坐标 对 称 轴 y=ax^2 (0,0) x=0 y=ax&^2+K (0,K) x=0 y=a(x-h)^2 (h,0) x=h y=a(x-h)^2+k (h,k) x=h y=ax^2;+bx+c (-b/2a,(4ac-b^2);/4a)x=-b/2a 当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到， 当h0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k(h>0,k>0)的图象 当h>0,k0,k0时，将抛物线y=ax^2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位，就可得到y=a(x+h)^2+k(h0)的图象 当h0时，开口向上，当a0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大。若a0，图象与x轴交于两点A(x1,0)和B(x2,0)，其中。
6.二次函数的知识点归纳
最低0.27元/天开通百度文库会员，可在文库查看完整内容> 原发布者：1504714087QQ 二次函数知识点（第一讲）一、二次函数概念：1.二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零.二次函数的定义域是全体实数.2.二次函数的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2.⑵是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项.二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。2.的性质：（上加下减）3.的性质：（左加右减）4.的性质：三、二次函数图象的平移1.平移步骤：方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；⑵保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：2.平移规律在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”.概括成八个字“左加右减，上加下减”.方法二：⑴沿轴平移：向上（下）平移个单位，变成（或）⑵沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）四、二次函数与的比较从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中.五、二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点。
7.关于二次函数的知识点
二次函数知识点总结大全一二次函数知识点：1.二次函数的概念：一般地，形如 （是常数，）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零.二次函数的定义域是全体实数.2. 二次函数的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2.⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项.二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：的性质：结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。总结：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值.向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值。
8.二次函数知识点归纳
a > 0： 三者均开口向上；对称轴分别为x = 0, x = 0, x = h顶点分别为（0, 0）, (0, k), (h, k)最值为顶点的纵坐标，分别为0, 0, k （均为最小值）前二者在x0时为增函数；第三者xh时为增函数a < 0三者均开口向下对称轴分别为x = 0, x = 0, x = h顶点分别为（0, 0）, (0, k), (h, k)最值为顶点的纵坐标，分别为0, 0, k （均为最大值）前二者在x0时为减函数；第三者xh时为减函数y = a(x-h)²+kh > 0,k>0 : y = a(x-h)²+k是从y=ax²向右平移h个单位，再向上平移k个单位得到的h > 0,k<0 : y = a(x-h)²+k是从y=ax²向右平移h个单位，再向下平移-k个单位得到的h 0 : y = a(x-h)²+k是从y=ax²向左平移-h个单位，再向上平移k个单位得到的h < 0,k<0 : y = a(x-h)²+k是从y=ax²向左平移-h个单位，再向下平移-k个单位得到的。
9.二次函数知识点归纳
a > 0:
三者均开口向上；
对称轴分别为x = 0, x = 0, x = h
顶点分别为（0, 0）, (0, k), (h, k)
最值为顶点的纵坐标，分别为0, 0, k （均为最小值）
前二者在x<0时为减函数，x>0时为增函数；第三者x<h时为减函数，x>h时为增函数
a < 0
三者均开口向下
对称轴分别为x = 0, x = 0, x = h
顶点分别为（0, 0）, (0, k), (h, k)
最值为顶点的纵坐标，分别为0, 0, k （均为最大值）
前二者在x<0时为增函数，x>0时为减函数；第三者x<h时为增函数，x>h时为减函数
y = a(x-h)²+k
h > 0,k>0 : y = a(x-h)²+k是从y=ax²向右平移h个单位，再向上平移k个单位得到的
h > 0,k<0 : y = a(x-h)²+k是从y=ax²向右平移h个单位，再向下平移-k个单位得到的
h < 0,k>0 : y = a(x-h)²+k是从y=ax²向左平移-h个单位，再向上平移k个单位得到的
h < 0,k<0 : y = a(x-h)²+k是从y=ax²向左平移-h个单位，再向下平移-k个单位得到的
