1.【有关三角形内心、外心、重心、垂心、旁心的知识总结包括与向量、
一、外心. 三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆周角定理. 圆周角定理： 同弧所对圆周角是圆心角的一半. 证明略（分类思想，3种，半径相等）圆周角推论1： 半圆（弧）和半径所对圆周角是90‵. 90‵圆周角所对弦是直径. （常用辅助线：已知直径，作其所对圆周角；已知90‵圆周角，作其所对弦，即直径.）圆周角推论2： 同（等）弧所对圆周角相等. 同（等）圆中，相等的圆周角所对弧相等.二、重心 三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每 条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题. 中线长度公式：在三角形ABC中，D为BC上的中点，设BD=DC=n,AD=m,AB=a AC=b，则有 2(m2+n2)=a2+b2 三、垂心 三角形的三条高线交于一点.三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角的顶点；钝角三角形的垂心在三角形外.四、内心 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.例：⊙O是△ABC的内切圆，△ABC是⊙O的一个外切三角形，点O叫做△ABC的内心.张角公式：，设点C在线段AB上，AB外一点P对线段AC、BC的张角分别为γ、β，则sin（γ+β）/PC=sinγ/PB+sinβ/PA. 三角形内角平分线性质定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.五、旁心 与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形的旁心.例：图中⊙O1、⊙O2、⊙O3都是△ABC的旁切圆，点O1、O2、O3叫做△ABC的旁心.三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，这个交点到三角形一边及其他两边延长线的距离相等，就是三角形的旁心.三角形有三个旁切圆，三个旁心.重心定理 三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍. 上述交点叫做三角形的重心. 外心定理 三角形的三边的垂直平分线交于一点. 这点叫做三角形的外心. 垂心定理 三角形的三条高交于一点. 这点叫做三角形的垂心. 内心定理 三角形的三内角平分线交于一点. 这点叫做三角形的内心. 旁心定理 三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点. 这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心. 三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心.它们都是三角形的重要相关点.数学中，既有大小又有方向的量叫做向量（亦称矢量）. 注：在线性代数中的向量是指n个实数组成的有序数组，称为n维向量.α=（a1,a2，…，an） 称为n维向量.其中ai称为向量α的第i个分量. （”a1″的”1″为a的下标，”ai”的”i”为a的下标，其他类推）. 在C++中，也有向量.1、代数表示：一般印刷用黑体小写字母α、β、γ … 或a、b、c … 等来表示，手写用在a、b、c…等字母上加一箭头表示. 2、几何表示：向量可以用有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.（若规定线段AB的端点A为起点，B为终点，则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度.这种具有方向和长度的线段叫做有向线段.） 3、坐标表示： 1） 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为一组基底.a为平面直角坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量OP=a.由平面向量基本定理知，有且只有一对实数（x,y），使得 a=向量OP=xi+yj，因此把实数对（x,y）叫做向量a的坐标，记作a=(x,y).这就是向量a的坐标表示.其中（x,y）就是点P的坐标.向量OP称为点P的位置向量. 2） 在立体三维坐标系中，分别取与x轴、y轴，z轴方向相同的3个单位向量i,j, k作为一组基底.若a为该坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量OP=a.由空间基本定理知，有且只有一组实数（x,y, z），使得 a=向量OP=xi+yj+zk，因此把实数对（x,y, k）叫做向量a的坐标，记作a=(x,y, z).这就是向量a的坐标表示.其中（x,y, k），也就是点P的坐标.向量OP称为点P的位置向量. 3） 当然，对于空间多维向量，可以通过类推得到，此略. 向量的模和向量的数量 向量的大小，也就是向量的长度（或称模）.向量a的模记作|a|. 注： 1、向量的模是非负实数，是可以比较大小的. 2、因为方向不能比较大小，所以向量也就不能比较大小.对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的.例如，“向量AB>向量CD”是没有意义的. 编辑本段各种向量单位向量 长度为单位1的向量，叫做单位向量.与向量a同向且长度为单位1的向量，叫做a方向上的单位向量，记作a0,a0=a/|a|. 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记作0.零向量的始点和终点重合，所以零向量没有确定的方向，或说零向量的方向是任意的. 相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量a与b相等，记作a=b. 规定：所有的零向量都相等. 当用有向线段表示向量时，起点可以任意选取.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.同向且等长的有向线段都表示同一向量. 自由向量 始点不固定的向量，它可以任意的平行移动，而且移动后的向量仍然代表原来的向量. 在自由向量的意义下，相等的向量都。
2.谁说一下三角形的内心、外心、重心、垂心的定义以及性质,公式
三角形的重心是三角形三条中线的交点.三角形的重心的性质 1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1.2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小.4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为（（X1+X2+X3）/3,(Y1+Y2+Y3)/3）；空间直角坐标系——横坐标：（X1+X2+X3）/3 纵坐标：（Y1+Y2+Y3）/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3 5.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分.6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点.三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点（或三角形外接圆的圆心） .三角形的外心的性质 1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.3.锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合 4.OA=OB=OC=R 5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA 6.S△ABC=abc/4R三角形的内心是三角形三条角平分线的交点（或内切圆的圆心）.三角形的内心的性质 1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心 2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r 3.r=2S/(a+b+c) 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2. 5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2 6.S△=[（a+b+c）r]/2 (r是内切圆半径)三角形的垂心是三角形三边上的高的交点（通常用H表示）.三角形的垂心的性质 1.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外 2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心 3.垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上 4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组（每组四个）相似的直角三角形，且AO·OD=BO·OE=CO·OF 5.H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心（并称这样的四点为一—垂心组）.6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆.7.在非直角三角形中，过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC 8.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍.9.设O,H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA. 10.锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍.11.锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形（顶点在原三角形的边上）中，以垂足三角形的周长最短.。
3.谁说一下三角形的内心、外心、重心、垂心的定义以及性质,公式
三角形的重心是三角形三条中线的交点。
三角形的重心的性质
1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为（（X1+X2+X3）/3,(Y1+Y2+Y3)/3）；空间直角坐标系——横坐标：（X1+X2+X3）/3 纵坐标：（Y1+Y2+Y3）/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3
5.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。
6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点（或三角形外接圆的圆心） 。
三角形的外心的性质
1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.
2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。
3.锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合
4.OA=OB=OC=R
5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA
6.S△ABC=abc/4R
三角形的内心是三角形三条角平分线的交点（或内切圆的圆心）。
三角形的内心的性质
1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心
2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r
3.r=2S/(a+b+c) 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2.
5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2
6.S△=[（a+b+c）r]/2 (r是内切圆半径)
三角形的垂心是三角形三边上的高的交点（通常用H表示）。
三角形的垂心的性质
1.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外
2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心
3. 垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上
4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组（每组四个）相似的直角三角形，且AO·OD=BO·OE=CO·OF
5. H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心（并称这样的四点为一—垂心组）。
6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。
7.在非直角三角形中，过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC
8.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
9.设O,H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。 10.锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
11.锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形（顶点在原三角形的边上）中，以垂足三角形的周长最短。
4.三角形内外心距离公式
求三角形内心与外心的距离公式。
题不清. 设R,r,s分别表示△ABC的外接圆半径，内切圆半径和半周长，a,b,c为其边长. ∵AI=√[bc(s-a)/s],AO=R，∠OAI=|B-C|/2. 由余弦定理得 OI^2=bc(s-a)/s+R^2-2R*√[bc(s-a)/s]*cos[(B-C)/2] =bc(s-a)/s+R^2-2R*√[bc(s-a)/s]*(b+c)*√[（s-b）(s-c)]/(a√bc) ∵r=√[（s-a）(s-b)(s-c)/s],2Rr=abc/(a+b+c). ∴OI^2=bc(s-a)/s+R^2-2Rr*[(b+c)/a] =bc(s-a)/s+R^2-bc(b+c)/(2s) =R^2-abc/(2s)=R(R-2r).。
5.数学三角形里重心垂心内心外心涉及到的公式,高中生水平
重心：中线交点。重心分中线为2:1。
垂心：高线交点。
外心：三边垂直平分线交点，外接圆圆心。
内心：三角角平分线交点，内切圆圆心。
三角形的五心
一 定理
重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的
离是它到对边中点距离的2倍。该点叫做三角形的重心。
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。
垂心定理：三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心。
内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。
旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。该点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。
三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心。它们都是三角形的重要相关点。
上述的几个结论早在欧几里得时代均已被人发现，欧几里得除垂心定理外，均把它们作为重要定理收集在自己的《几何原本》里，但后来关于三角形这些特殊相关点的诸多研究及由此得出的许多著名结论表明，遗漏垂心定理不能不算是《几何原本》作者的一个疏忽。
补充的歌诀：
三角形有五颗心；重、垂、内、外和旁心，
五心性质很重要，认真掌握莫记混.
重 心
三条中线定相交，交点位置真奇巧，
交点命名为“重心”，重心性质要明了，
重心分割中线段，数段之比听分晓；
长短之比二比一，灵活运用掌握好.
垂 心
三角形上作三高，三高必于垂心交.
高线分割三角形，出现直角三对整，
直角三角形有十二，构成六对相似形，
四点共圆图中有，细心分析可找清.
内 心
三角对应三顶点，角角都有平分线，
三线相交定共点，叫做“内心”有根源；
点至三边均等距，可作三角形内切圆，
此圆圆心称“内心”如此定义理当然.
外 心
三角形有六元素，三个内角有三边.
作三边的中垂线，三线相交共一点.
此点定义为“外心”，用它可作外接圆.
“内心”“外心”莫记混，“内切”“外接”是关键.
按照这个自行画画图，对照上面别人的解释体会一下.
重心是中线交点，内心是角平分线交点（或内切圆的圆心），
外心是中垂线交点（或外接圆的圆心），垂心是高线交点，
这称三角形的四心.
还有一个心叫傍心：外角平分线的交点（有3个），（或傍切圆的圆心）
只有正三角形才有中心，这时重心，内心.外心，垂心，四心合一.
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