有关于矩阵的秩的知识

1.矩阵的秩及其应用的方法总结

原发布者：陈风d

矩阵的秩的及其应用摘要：本文主要介绍了矩阵的秩的概念及其应用。首先是在解线性方程组中的应用，在多项式中的应用；其次是在二次型中的应用，最后是关于矩阵的秩在几何中的应用。关键词：矩阵的秩；线性方程组；特征值；多项式；二次型一：引言矩阵的秩是线性代数中的一个概念，它描述了矩阵的一个数值特征。它是矩阵的一个重要性质，它将矩阵的本质展现出来。在判定向量组的线性相关性，线性方程组是否有解，求矩阵的特征值，在多项式、空间几何中等多个方面都有广泛的应用。二：矩阵的秩的定义及其性质（1）定义1一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。定义2所谓矩阵的行秩就是矩阵的行向量组的秩，矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩.矩阵的行秩等于矩阵的列秩，并统称为矩阵的秩.另外，在我们的课本上矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数，这其实是矩阵的秩的行列式定义。（2）性质及变化规律（1）转置后秩不变（2）初等变换不改变矩阵的秩；（3）r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩阵（4）r(kA)=r(A),k不等于0(5)r(A)=0A=0(6)r(A+B)<=r(A)+r(B)(7)r(AB)<=min(r(A),r(B))(8)r(A)+r(B)-nr(A)+r(B)<=n(8)P,Q为可逆矩阵，则r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)三：矩阵的秩的应用（1）解线性方程组（线性方程组可解的判定方法）对一个线性方程组来说，其可以

2.什么叫矩阵的秩

线形代数知识，我也不太好讲，你学过线形代数没！~

给你个概念把，自己慢慢领悟！~

先告诉你矩阵的秩这个概念！~

矩阵的秩：用初等行变换将矩阵A化为阶梯形矩阵，则矩阵中非零行的个数就定义为这个矩阵的秩，记为r(A)。

根据这个定义，矩阵的秩可以通过初等行变换求得。需要注意的是，矩阵的阶梯形并不是唯一的，但是阶梯形中非零行的个数总是一致的。

满秩矩阵：设A是n阶矩阵，若r(A) = n，则称A为满秩矩阵。

满秩矩阵是一个很重要的概念，它是判断一个矩阵是否可逆的充分必要条件。

3.矩阵的秩和矩阵的特征值个数的关系,并证明

关系：

1、方阵A不满秩等价于A有零特征值。

2、A的秩不小于A的非零特征值的个数。

证明：

定理1:n阶方阵A可相似对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。

定理2：设A为n阶实对称矩阵，则A必能相似对角化。

定理3：设A为n阶实对称矩阵，矩阵的秩r(A)=k,(0<k<n,k为正整数)，则λ=0恰为A的n-k重特征值。

定理4：设A为n阶方阵，矩阵的秩r(A)=k,(0<k<n,k为正整数)，则λ=0至少为A的n-k的重特征值。

定理5：设A为n阶方阵，矩阵的秩r(A)=k,(0<k<n,k为正整数)，且A可相似对角化，则λ=0恰为A的n-k重特征值。

定理6：设A为n阶方阵，矩阵的秩rf(A)=k,(0<k<n,k为正整数)，且A可对角化，则λ=0恰为f(A)的n-k重特征值。

例1:

设矩阵A=1 2 3 42 4 6 83 6 9 124 8 12 16 ，求矩阵A的特征值，矩阵A的秩。

解：得到A→1 2 3 40 0 0 00 0 0 00 0 0 0 ，则矩阵A的秩r(A)=1。

通过上例，我们发现λ=0为A的三重特征值，而A的秩r(A)=4-3=1。下面的定理给出了相应的结论。

证：由定理2，实对称矩阵必能相似对角化，因此A必有n个线性无关的特征向量，即每一个特征值对应一个线性无关的特征向量，重根对应线性无关的特征向量的个数等于其重数[1]，故由秩r(A)=k,(0<k<n,k为正整数)，则λ=0对应的特征向量恰有n-k个，即λ=0恰为A的n-k重特征值。

以上例题和相关定理均给出了矩阵的秩得到矩阵的特征值的情况，反过来，若n阶方阵A恰有k(0<k<n)个特征值为0，则矩阵A的秩大于等于n-k。

所以，方阵A不满秩等价于A有零特征值，A的秩不小于A的非零特征值的个数。

扩展资料

矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数。通常表示为r(A),rk(A)或rank A。

矩阵的秩的变化规律及证明

1、转置后秩不变

2、r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩阵

3、r(kA)=r(A),k不等于0

4、r(A)=0 <=> A=0

5、r(A+B)<=r(A)+r(B)

6、r(AB)<=min(r(A),r(B))

7、r(A)+r(B)-n<=r(AB)

证明：

AB与n阶单位矩阵En构造分块矩阵

|AB O|

|O En|

A分乘下面两块矩阵加到上面两块矩阵，有

|AB A|

|0 En|

右边两块矩阵分乘-B加到左边两块矩阵，有

|0 A |

|-B En|

所以，r(AB)+n=r（第一个矩阵）=r（最后一个矩阵）>=r(A)+r(B)

即r(A)+r(B)-n<=r(AB)

注：这里的n指的是A的列数。这里假定A是m*n matrix。

特别的：A:m*n,B:n*s,AB=0 -> r(A)+r(B)<=n

8、P,Q为可逆矩阵，则 r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)

4.线性代数里的秩到底是什么

矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数。通常表示为r(A),rk(A)或rank A。

在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。通俗一点说，如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。

拓展资料

变化规律

(1)转置后秩不变

(2)r(A)(3)r(kA)=r(A),k不等于0

(4)r(A)=0 A=0

(5)r(A+B)(6)r(AB)(7)r(A)+r(B)-n证明：